Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
1546
BLOG

Działając na czas i na przestrzeń

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 17

 

Fraktale mają polskie korzenie. Dobrze o tym wiedzieć. Ja nie zdawałem sobie z tego sprawy. Do przedwczoraj, kiedy to obejrzałem wielce interesujący film z Youtube
 
Fractals - Hunting The Hidden Dimension [Full - Hd 720p]
 
Potem zajrzałem do świeżo wydanej autobiografii Benoit Mandelbrota „The Fractalist: Memoir of a Scientific Maverick”
 

Mandelbrot Fractalist

 
Tłumacz angielsko-polski Google tłumaczy „maverick” jako „politycznie niezależny”. No, nie wiem. Faktem jest jednak, że Mandelbrota cechowała oryginalność myślenia i działania. Zgodna zresztą z zaleceniem Gurdżijewa: „Jeśli już masz coś robić, to albo nie rób nic, po prostu się ucz, albo, jak już coś robisz, rób coś, czego nikt inny nie robi.” (ang. „Either do nothing—just go to school—or do something nobody else does.” )
 
Cechą szczególną Mandelbrota była niezwykle rozwinięta zdolność przetwarzania abstrakcyjnego rozumowania na obrazy.
 
Czytając to doszedłem do wniosku, że takiej zdolności mi brakuje, że chcę nad tą sprawą popracować. Rozwinąć tę zdolność u siebie. Jak mi to pójdzie? Zobaczymy.
 
Wczoraj na dobranockę oglądaliśmy z Laurą inny film z Youtube:
 
 
Nemesis-The Suns Evil Twin Brother
 

Siedział samotny, odgrodzony od świata.

Gdzieś tam były gwiazdy i ta jedna, wokół której krążyło kilka planet. Widział ją oczyma duszy; widział ją znacznie lepiej niż w rzeczywistości za matowymi teraz oknami.

Niewielka, różowoczerwona gwiazda, koloru krwi i zagłady, nosząca także odpowiednie miano.

Nemezis!

Nemezis, uosobienie zemsty bogów.

Przypomniał sobie opowieść zasłyszaną w dzieciństwie; legendę, mit, baśń o ziemskim potopie, który zgładził grzeszną, zdegenerowaną ludzkość, ocalając jedną rodzinę, od której wszystko zaczęło się na nowo.

Tym razem nie było potopu. Tylko Nemezis.

Ludzkość ponownie uległa degeneracji i zemsta Nemezis będzie odpowiednią karą. Żaden potop. Nic tak trywialnego jak potop.

Czy ktoś ocaleje...? A jeśli nawet, to dokąd pójdzie?

....

Isaac Asimov, Nemesis

 
Jest to film „popularno-naukowy”. Ilustracje zjawisk astronomicznych były tam zadziwiające: występował tam młody żongler, występowali trampoliniści (no, ci co skaczą wysoko na batucie). Laura się z tego śmiała. Ale ja, po namyśle, doszedłem do wniosku, że takie ilustracje jednak coś dają, nawet wtedy gdy teoretycznie ma się wszystkie równania opanowane. Obrazy są ważne. Ruch jest też ważny. Postaram się więc dawać więcej obrazów i więcej ruchu w moich notkach. Samemu mi się to przyda. Oczywiście wymaga to dodatkowego nakładu pracy. A z czasem tymczasem krucho....
 
Zatem do czasu i do przestrzeni się zabierzmy. Lepiej powoli a dobrze niż po łebkach choć szybko.
 
SL(2,R) – o grupie macierzy 2x2 o współczynnikach rzeczywistych i wyznaczniku równym 1 była ostatnia notka. To abstrakcja. Niewiele nam ona mówi. Macierz jak macierz:
 

macierz abcd

 
Nawet jeśli macierz przedstawię na czerwono:
 

macierz kwadratowa

 
nie stanie się od tego mniej abstrakcyjna. Podobnie z wyznacznikiem:
 
Ot, symbole. Algebra. A gdzie geometria? Geometria pojawia się zazwyczaj w działaniu. O jednym działaniu już wspominałem
 

liniowo uamkowe

 
Niezbyt to przemawia do wyobraźni, nawet jak powiększę:
 

 
By przemówiło do wyobraźni wprowadźmy na scenę czas i przestrzeń. Ale nad tym trzeba najpierw nieco popracować. Praca nie hańbi, ważne by w końcu na coś się jej wyniki przydały, by dała dochód.
 
Czas to jeden wymiar – pozwólmy mu biec po całej prostej, zmienną reprezentującą czas oznaczmy literką t. Przestrzeń będzie u nas miała dwa wymiary, wybierzemy x oraz z.
 
Wprowadźmy, jak to było w poprzedniej notce trzy macierze symetryczne:
 

baza macierzy symetrycznych rzeczywistych

 
Z każdym punktem p czasoprzestrzeni, punktem o współrzędnych (t,x,z) zwiążmy teraz macierz P daną przez formułkę
 

rozkad na bazę

 
Mając dowolną macierz symetryczną P = [[a,b],[b,d]] możemy z niej łatwo odczytać odpowiadające jej współrzędne t,x,z:
 
t = (a+d)/2, x = b, z = (a-d)/2.
 
Macierze symetryczne możemy teraz przedstawiać jako punkty w przestrzeni o trzech wymiarach, ze współrzędnymi t,x,z. Czemu t,x,z a nie x,y,z jak uczą w szkole? Wkrótce się to okaże. Bowiem w międzyczasie zgubiliśmy naszą SL(2,R). Wróćmy więc do niej. Macierze z SL(2,R) nie są na ogół symetryczne. Przykładem może być macierz
 

macierz z A

 
Dla dowolnej macierzy A oznaczmy przez At macierz transponowaną do macierzy A. Operacja transpozycji zmienia kolejność mnożenia macierzy, a podwójne transponowanie powraca do punktu wyjścia:
 

Transponowanie macierzy

 
Wynika z tego następujący wniosek:
 
Wniosek: Dla dowolnej macierzy A, jeśli P jest macierzą symetryczną: P = Pt, to P' = APAt jest też macierzą symetryczną (P')t = P'.
 
Przejście od P do P' poprzez działanie macierzą A jak wyżej jest więc pewnym działaniem macierzy na naszą „czasoprzestrzeń”. Ponieważ interesują nas macierze A z SL(2,R) ograniczmy się do nich. Cechuje je własność, że det(A) = 1. Obliczmy teraz wyznacznik z obu stron formułki na działanie, korzystamy przy tym z faktu, że wyznacznik iloczynu jest iloczynem wyznaczników, oraz, że wyznacznik macierz transponowanej jest taki sam jak wyznacznik macierzy wyjściowej: det (P') = det( APAt) = det(A) det(P) det(At) = 1 det(P) 1 = det(P).
 
Zatem: Działanie P → P' = APAt grupy SL(2,R) na symetryczne macierze P nie zmienia wyznacznika macierzy P. A cóż to takiego ten wyznacznik w języku zmiennych t,x,z? Łatwo to wyliczyć z ogólnej formuły na wyznacznik:
 

wyznacznik forma kwadratowa minkowskiego

 
Skoro działanie SL(2,R) nie zmienia wyznacznika, to jeśli wystartujemy z punktu O o danej wartości wyznacznika, to działając na ten punkt różnymi elementami grupy SL(2,R) będziemy wciąż pozostawać na tej powierzchni. Powierzchnie te możemy podzielić na trzy typy: te gdy det(P)>0, te gdy det(P)=0, oraz te dla których det(P)<0. Możemy teraz te powierzchnie namalować – od abstrakcyjnej algebry przechodzimy powoli do obrazków i do geometrii.
 
Oto powierzchnia det(P) = 0:
 

stożek świetlny

 
Piszę „powierzchnia”, ale trzeba ją w myślach rozbić na trzy części: punkt P = 0 (macierz zerowa, z samych zer) odpowiadający t=x=z=0, wierzchołek, stożek „nad wierzchołkiem”, tzw. „stożek przyszłości”, i odwrócony stożek „pod wierzchołkiem”, „stożek przeszłości”.
Punktu P=0 nasza grupa w ogóle nie rusza. Działa jakoś na stożku górnym i działa jakoś na stożku dolnym.
 
Zadanie: Jak pokazać, że działanie naszej grupy nigdy to a nigdy, choćby nie wiem jak chciało, nie przeprowadzi punktu ze stożka górnego w punkt na stożku dolnym.
 
A oto powierzchnia det(P) = +10:
 
hiperboloida dwu-powłokowa
 
Jest to „hiperboloida dwu-powłokowa”. I, podobnie jak poprzednio
 
Zadanie: Jak pokazać, że działanie naszej grupy nigdy to a nigdy, choćby nie wiem jak chciało, nie przeprowadzi punktu z powłoki górnej w punkt na powłoce dolnej.
 
Punkty na hiperboloidzie górnej leżą „w absolutnej przyszłości” w stosunku do punktu P=0. Punkty na hiperboloidzie dolnej leżą w stosunku do niego w „absolutnej przeszłości”.
 
No jeszcze pozostają nam powierzchnie z det(P)<0. Oto taka powierzchnia dla det(P)=-10:
 

hiperboloida jedno-powłokowa

 
Jest to „hiperboloida jedno-powłokowa”. Punkty na tej hiperboloidzie leżą we „względnej teraźniejszości” w stosunku do P=0. W języku szczególnej teorii względności: zawsze znajdzie się taki obserwator, poruszający się ruchem jednostajnym względem naszego układu odniesienia, dla którego punkt P na tej hiperboloidzie będzie jednoczesny z punktem 0.
 
Co prawda o „obserwatorach” dotąd nie mówiliśmy, ale dobrze uprzedzić.
 
Zadanie: Działanie grupy SL(2,R) na stożku przyszłości jest przechodnie. Dla każdej pary punktów na tym stożku znajdzie się macierz A z SL(2,R) przeprowadzająca jeden punkt w drugi. Podobnie dla stożka przeszłości, podobnie dla każdej z hiperboloid dolnych, podobnie dla każdej z hiperboloid górnych, podobnie dla każdej hiperboloidy jedno-powłokowej.
 
Zadania z tej notki mogą okazać się zbyt trudne. Staną się łatwiejsze do ugryzienia po notce kolejnej, gdy poznamy „Cud w Kanie Galilejskiej”, inaczej: twierdzenie Iwasawy o rozkładzie KAN – w naszym przypadku niemal oczywiste, niemniej o cudownych własnościach

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie