67. Nonsensy "fizyki smoleńskiej" - Wbijanie drzwi 2L w ziemię, cz. 1.

67. 3.   TEORIA I EKSPERYMENTY WSTRZELIWANIA OBIEKTÓW W GRUNT

Od filmów z działu fantasy przejdźmy teraz do tego, jak jest naprawdę. Zajmiemy się mniej szczegółową niż  LS-Dyna 3D, lecz za to poprawną fizycznie wersją obliczeń zagłębiania drzwi 2L w grunt smoleński. (Bedą to obliczenia jednowymiarowe zakładające niedeformowalność drzwi, co jest dobrym przybliżeniem stanu powypadkowego; jeśli ktoś chce popróbować obliczeń sam/sama, wystarczy więc skrypt w Pytonie lub arkusz Excel'a). W 1793 r. Laplace rzekł, że nie ma nic praktyczniejszego niż dobra teoria. Zacznijmy więc od ogólnego rozwiązania następującego problemu.

Problem

W ośrodek o gęstości  ρ  wbija się pionowo, z dużą prędkością początkową v₀ , niedeformowalny obiekt o masie M i polu podstawy A.  Fazę elastyczną deformacji gruntu pomijamy, rozważamy tylko deformacje plastyczną i opory ścinania (shear stress), które generują siłę oporu ruchu, zależną od głębokości ciała pod ziemią s(t) oraz jego chwilowej prędkości v(t).

Podać zależność głębokości końcowej obiektu od prędkości zderzenia, S(v₀).

Założyć, że naprężenie końcówkowe (zmienne w czasie, działające prostopadle do podstawy obiektu o polu A),  oznaczane jako σ, zależy od chwilowych wartości s i v poprzez iloczyn funkcji g() i f()

σ =  σ₀  g(s) f(v).

Funkcje g i  f są bezwymiarowe, a σ₀ to wartość naprężenia statycznego tuż pod powierzchnią ziemi. Innymi słowy, g(0) = f(0) = 1.

Uwaga: Nie wprowadzamy tu osobno oznaczeń na efekty naprężeń kompresji i ścinania, zapisujemy dla uproszczenia sumę wszystkich realnych sił oporu, zarówno z powierzchni frontowej jak i ze ścian bocznych obiektu, jako naprężenie σ działające na bok o polu A. Naprężenie σ ma jednostkę Pa = N/m², tak jak ciśnienie. Siła oporu równa jest A σ(s,v).

Rozwiązanie ogólne problemu

Zgodnie z równaniami kinematyki i dynamiki Newtona,

ds = v dt,                                                                          (1)

M dv/dt = - σ A                                                                 (2)

Aby uniknąć zbędnych obliczeń nie wymaganych zadaniem (nikt nie pyta nas bowiem o ustalenie zależności s(t), tylko S=s(v) w momencie końcowym, gdy v=0),  wyeliminujemy z dynamiki (równ. 2)  dt  przy użyciu równania kinematyki (równ. 1), otrzymując po separacji zmiennych

v/f(v)  dv   = - σ₀ (A/M)  g(s)  ds                                      (3)

Całkując obie strony tego równania, dostajemy rozwiązanie ogólne 

F(v) :=  ∫^v₀  v/f(v)  dv   = σ₀(A/M)   ∫^s₀  g(s)  ds                 (4)

Oznaczyłem tu przez F wartość całki po prędkości; F ma wymiar kwadratu prędkości. Jeśli zależności g(s) i f(v) nie są zbyt skomplikowane i potrafimy wykonać obie całki analitycznie, to równ. (4)  daje analityczną zależność s od v, w tym też szukaną informację o funkcji S(v₀). Można też rozwiązać łatwo równ. (4) na komputerze.

Rozwiązania szczególne

Wielomianowe zależności oporu od prędkości i głębokości dają ciekawe zastosowania tego równania. Przyjmijmy

g(s) = 1 + s/h,                                                                   (5)

gdzie  h=const. jest stałą opisującą szybkość wzrostu oporu wraz z głębokością (na przestrzeni h naprężenie oporu rośnie o σ₀), oraz

f(v) = 1  +  J v  + c v²,                                                       (6)

gdzie podążając za pracą Smitha (1960)  współczynnik przy pierwszej potędze prędkości oznaczamy jako J (jedn. s/m), choć moglibyśmy równie dobrze użyć stałej v₁ i zapisać Jv jako  v/v₁. Do fizycznej interpretacji równania (6) powrócimy.

Podstawiając (5)  do  (4), dostajemy

F(v) =  ∫^v₀  v/f(v)  dv    =   σ₀(A/M)  [s + s²/(2h)],                  (7)

To równanie kwadratowe na s jest łatwo rozwiązać, otrzymując ogólne rozwiązanie na s(v) w skrótowej postaci

s(v) = h  { -1 +  [1 + 2F(v)/(σ₀hA/M)]^1/2  } .                            (8a)

s(v) =   F(v)/(σ₀A/M),   jeśli  h -> ∞ (siły nie zależą od s)      (8b)

Trudniejsze jest znalezienie F(v) poprzez całkowanie lewej str. równ. (4) w ogólnym przypadku (6).  Całka ta faktycznie istnieje w postaci analitycznej i używałem takiego rozwiązania znalezionego w słynnej 'Tabeli całek, szeregów i iloczynów' Gradshteyn i Ryzhik (1970). Tu pozwolę sobie ominąć skomplikowaną, choć używającą tylko funkcji elementarnych i trygonometrycznych, postać F(v). Ciekawiej będzie zapoznać się z rozwiązaniami różnych przypadków szczególnych. [Możesz też czytelniku pominąć formuły analityczne, i otrzymać wyniki wprost z numerycznego całkowania a definicji funkcji F(v).]

Stała siła oporu

Najprostszy wybór współczynników to J = c = 0, oraz h -> ∞. Odpowiada stałej sile oporu równej σ₀A. Wtedy f(v) = 1,  F(v) =  ∫^v₀ v  dv = v²/2, a równ. (8b) daje w granicy h -> ∞

s(v) = (Mv²/2) (σ₀A)^-1 .                                                (9)

Fizyczna interpretacja (9) jest taka, że jeśli siła oporu jest stała, to końcowe zagłębienie w ośrodek stawiający opór σ₀A jest równe początkowej energii ciała  Mv²/2 podzielonej przez σ₀A, gdyż energia = siła * przesunięcie. Siła oporu staje się stała przy powolnej deformacji ośrodka, po przekroczeniu granicy między elastycznością (grunt deformowany sprężyście) a plastycznością. Zgodnie z treścią zadania, pomijamy opis fazy elastycznego przyrostu siły do wartości σ₀A. (W analizie kwS nie ma to znaczenia). W historii stały opór plastyczny spotykany jest pod nazwą oporu Robinsa-Eulera (por. rozdz. 4 książki Iskandera i in., 2015).

Siła oporu ~ v

Jednak w przypadku kolizji z granularnym materiałem piaszczystej gleby siła oporu wcale nie jest stała. Dla niezbyt dużych prędkości wbijania słupów w ziemię, Hussein i in (1992) przeprowadzili serię 15 eksperymentów wbijania przez spadek masywnego młota ze zmiennej wysokości.  Wyznaczono maksymalną siłę oporu, osobno stacjonarnego i dynamicznego, z następującym wynikiem: część dynamiczna, zależna od prędkości, była niezerowa i proporcjonalna do prędkości obiektu, f_dyn(v₀) ~ v₀. To zaprzecza niezależności f od v, a wskazuje na zależność liniową.