Fizyka Smoleńska
Piszę o rzeczach pięknych: fizyce, lotnictwie, wszechświecie i superkomputerach. Ale też o smutnych: wyjaśniam katastrofę smoleńską. Odsłaniam manipulacje oszustów politycznych i nieuków, ich pseudonaukę o nazwie "fizyka smoleńska". Fot: Lecę nad Hudson
118 obserwujących
91 notek
927k odsłon
  1422   2

67. Nonsensy "fizyki smoleńskiej" - Wbijanie drzwi 2L w ziemię, cz. 1.


67. 3.   TEORIA I EKSPERYMENTY WSTRZELIWANIA OBIEKTÓW W GRUNT

Od filmów z działu fantasy przejdźmy teraz do tego, jak jest naprawdę. Zajmiemy się mniej szczegółową niż  LS-Dyna 3D, lecz za to poprawną fizycznie wersją obliczeń zagłębiania drzwi 2L w grunt smoleński. (Bedą to obliczenia jednowymiarowe zakładające niedeformowalność drzwi, co jest dobrym przybliżeniem stanu powypadkowego; jeśli ktoś chce popróbować obliczeń sam/sama, wystarczy więc skrypt w Pytonie lub arkusz Excel'a). W 1793 r. Laplace rzekł, że nie ma nic praktyczniejszego niż dobra teoria. Zacznijmy więc od ogólnego rozwiązania następującego problemu.

Problem

W ośrodek o gęstości  ρ  wbija się pionowo, z dużą prędkością początkową v0 , niedeformowalny obiekt o masie M i polu podstawy A.  Fazę elastyczną deformacji gruntu pomijamy, rozważamy tylko deformacje plastyczną i opory ścinania (shear stress), które generują siłę oporu ruchu, zależną od głębokości ciała pod ziemią s(t) oraz jego chwilowej prędkości v(t).

Podać zależność głębokości końcowej obiektu od prędkości zderzenia, S(v0).

Założyć, że naprężenie końcówkowe (zmienne w czasie, działające prostopadle do podstawy obiektu o polu A),  oznaczane jako σ, zależy od chwilowych wartości s i v poprzez iloczyn funkcji g() i f()

σ =  σ0  g(s) f(v).

Funkcje g i  f są bezwymiarowe, a σ0 to wartość naprężenia statycznego tuż pod powierzchnią ziemi. Innymi słowy, g(0) = f(0) = 1.

Uwaga: Nie wprowadzamy tu osobno oznaczeń na efekty naprężeń kompresji i ścinania, zapisujemy dla uproszczenia sumę wszystkich realnych sił oporu, zarówno z powierzchni frontowej jak i ze ścian bocznych obiektu, jako naprężenie σ działające na bok o polu A. Naprężenie σ ma jednostkę Pa = N/m2, tak jak ciśnienie. Siła oporu równa jest A σ(s,v).


Rozwiązanie ogólne problemu

Zgodnie z równaniami kinematyki i dynamiki Newtona,

ds = v dt,                                                                          (1)

M dv/dt = - σ A                                                                 (2)

Aby uniknąć zbędnych obliczeń nie wymaganych zadaniem (nikt nie pyta nas bowiem o ustalenie zależności s(t), tylko S=s(v) w momencie końcowym, gdy v=0),  wyeliminujemy z dynamiki (równ. 2)  dt  przy użyciu równania kinematyki (równ. 1), otrzymując po separacji zmiennych

v/f(v)  dv   = - σ0 (A/M)  g(s)  ds                                      (3)

Całkując obie strony tego równania, dostajemy rozwiązanie ogólne 

F(v) :=  ∫v0  v/f(v)  dv   = σ0(A/M)   ∫s0  g(s)  ds                 (4)

Oznaczyłem tu przez F wartość całki po prędkości; F ma wymiar kwadratu prędkości. Jeśli zależności g(s) i f(v) nie są zbyt skomplikowane i potrafimy wykonać obie całki analitycznie, to równ. (4)  daje analityczną zależność s od v, w tym też szukaną informację o funkcji S(v0). Można też rozwiązać łatwo równ. (4) na komputerze.


Rozwiązania szczególne

Wielomianowe zależności oporu od prędkości i głębokości dają ciekawe zastosowania tego równania. Przyjmijmy

g(s) = 1 + s/h,                                                                   (5)

gdzie  h=const. jest stałą opisującą szybkość wzrostu oporu wraz z głębokością (na przestrzeni h naprężenie oporu rośnie o σ0), oraz

f(v) = 1  +  J v  + c v2,                                                       (6)

gdzie podążając za pracą Smitha (1960)  współczynnik przy pierwszej potędze prędkości oznaczamy jako J (jedn. s/m), choć moglibyśmy równie dobrze użyć stałej v1 i zapisać Jv jako  v/v1. Do fizycznej interpretacji równania (6) powrócimy.

Podstawiając (5)  do  (4), dostajemy

F(v) =  ∫v0  v/f(v)  dv    =   σ0(A/M)  [s + s2/(2h)],                  (7)

To równanie kwadratowe na s jest łatwo rozwiązać, otrzymując ogólne rozwiązanie na s(v) w skrótowej postaci

s(v) = h  { -1 +  [1 + 2F(v)/(σ0hA/M)]1/2  } .                            (8a)

s(v) =   F(v)/(σ0A/M),   jeśli  h -> ∞ (siły nie zależą od s)      (8b)

Trudniejsze jest znalezienie F(v) poprzez całkowanie lewej str. równ. (4) w ogólnym przypadku (6).  Całka ta faktycznie istnieje w postaci analitycznej i używałem takiego rozwiązania znalezionego w słynnej 'Tabeli całek, szeregów i iloczynów' Gradshteyn i Ryzhik (1970). Tu pozwolę sobie ominąć skomplikowaną, choć używającą tylko funkcji elementarnych i trygonometrycznych, postać F(v). Ciekawiej będzie zapoznać się z rozwiązaniami różnych przypadków szczególnych. [Możesz też czytelniku pominąć formuły analityczne, i otrzymać wyniki wprost z numerycznego całkowania a definicji funkcji F(v).]


Stała siła oporu

Najprostszy wybór współczynników to J = c = 0, oraz h -> ∞. Odpowiada stałej sile oporu równej σ0A. Wtedy f(v) = 1,  F(v) =  ∫v0 v  dv = v2/2, a równ. (8b) daje w granicy h -> ∞

s(v) = (Mv2/2) (σ0A)-1 .                                                (9)

Fizyczna interpretacja (9) jest taka, że jeśli siła oporu jest stała, to końcowe zagłębienie w ośrodek stawiający opór σ0A jest równe początkowej energii ciała  Mv2/2 podzielonej przez σ0A, gdyż energia = siła * przesunięcie. Siła oporu staje się stała przy powolnej deformacji ośrodka, po przekroczeniu granicy między elastycznością (grunt deformowany sprężyście) a plastycznością. Zgodnie z treścią zadania, pomijamy opis fazy elastycznego przyrostu siły do wartości σ0A. (W analizie kwS nie ma to znaczenia). W historii stały opór plastyczny spotykany jest pod nazwą oporu Robinsa-Eulera (por. rozdz. 4 książki Iskandera i in., 2015).


Siła oporu ~ v

Jednak w przypadku kolizji z granularnym materiałem piaszczystej gleby siła oporu wcale nie jest stała. Dla niezbyt dużych prędkości wbijania słupów w ziemię, Hussein i in (1992) przeprowadzili serię 15 eksperymentów wbijania przez spadek masywnego młota ze zmiennej wysokości.  Wyznaczono maksymalną siłę oporu, osobno stacjonarnego i dynamicznego, z następującym wynikiem: część dynamiczna, zależna od prędkości, była niezerowa i proporcjonalna do prędkości obiektu, fdyn(v0) ~ v0. To zaprzecza niezależności f od v, a wskazuje na zależność liniową.

Lubię to! Skomentuj61 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Komentarze

Inne tematy w dziale Polityka