W poprzednim rozdziale mówiłem o strugach z silników PLF101 i ich wpływie na obiekty na ziemi. Drugie pytanie, na ktore fizyka powinna odpowiedzieć, to czy możliwe jest, żeby brzoza odrąbała jak toporem lub ścięła jak nożem kawał twardego, metalowego skrzydła.
Odpowiedź jest twierdzaca. Długo można by tu o modułach Younga, kruchości, propagacji defektów i przełomach w aluminium przy prędkosci ponadkrytycznej, o masie zredukowanej dwóch ciał i o japońskich katanach, nie wspominając już o drewnie brzozowym jako materiale kompozytowym, wlóknistym.
Ale --nieoczekiwanie-- nie ma najmniejszej potrzeby! Końcowka o długosci 6+cośtam metrow, stanowiąca 5 końcowych metrów rozpiętości skrzydła Tu-154M nr. 101 została ścięta dokładnie tak, jak tutaj widać: słup telefoniczny, a raczej dwa słupy, nadcięły jak nożem czy maczugą prawe skrzydło tego nieszczęsnego Constellation testowanego przez NASA, w 0:13 i 0:30 tego wideo. To chyba wywiesił na forum gw absurdello, znany w salonie24 jako paes64. Wielkie dzięki. oszczedzi mi to dużo pisania. Skrzydlo na filmie nie polecialo ostro do gory i do przodu, jak to w Smoleńsku tylko dlatego, że nie miało dostatecznej siły nośnej, bo nie miało dostatecznej prędkości. Za to tutaj na tym teście samolotu DC-7 nawet podlatuje do góry. To nie smoleńska brzoza, tylko znacznie cieńszy 12-calowy słup telegraficzny uciął tę zewnetrzą końcówke skrzydła. Ale wybiegam trochę przed orkiestrę...nawet podwójnie. Po pierwsze, nie omówilem jeszcze siły nośnej, po drugie i ważniejsze -- nie przewidziałem ciągu dalszego historii zmagań skrzydla i brzozy, kontynuowanej w rozdz. 6.
[dodane w maju 2012] Jeszcze lepszym dowodem na to, co dzieje sie z koncowka skrzydla ucieta przez 30-cm srednicy slup telefoniczny jest test NASA, w ktorym rozbito samolot DC-7. Z raportu NASA o tym symulowanym wypadku wynika, ze koncowka skrzydla uniosla sie do gory z poziomu ziemi i przeleciala do momentu spadku 134m. To wiecej niz 110m, ktore przelecial kawalek skrzydla tupolewa.
Ale wracajmy lepiej do prawdziwej fizyki, chcialbym jak najmniej komentować nonsensowne teorie, w których skrzydła są pancerne.
* * *
Trzecie pytanie, to oczywiście czy możliwe jest, zeby 80-tonowy kolos obrócił się na plecy pod wpływem utraty kawałka skrzydła i to w zaledwie niecałe 5 sekund.
Bardziej dociekliwych zainteresuje też dokładniej to, czy te różne przechyły samolotu na rożnych odległościach od pasa (włacznie z przechyłem końcowym), w dwóch czasem trochę różnych raportach majacych z pewnoscia dwa niepokrywajace się zbiory lekko politycznych agend komisji, mają w ogóle jakiś związek z fizyką, z tym co tam się naprawdę fizycznie działo w tych ostatnich sekundach przed rozczłonkowaniem wszystkiego. Może to wszystko się nie trzyma kupy i trzeba pomyśleć na poważnie o jakims zamachu?
W tym rozdziale chcialbym wiec opisac, jak liczy sie (duzo porzadniej niz to, co zrobilem niedawno na kolanie, na forum kata-w-smole gw, a nawet bardziej szczegolowo niz andrzejmat w salonie24) obrot samolotu tu-154 wokol osi. To znaczy chcialbym znalezc czas, aby to zebrac w jedna calosc. Na pytanie nr. 3 jeszcze w tym rozdziale bloga nie odpowiem - tu bedzie teoria ogolna, bez ktorej nie moze byc konkretnej, wiarygodnej odpowiedzi. [Tu oczywiscie sie pomylilem -- czas znalazlem dopiero 20 rozdzialow pozniej.]
* * *
Fizyka skrzydla - czyz jest cos bardziej... uskrzydlajacego? Skrzydla de facto zaczeto robic zanim zrozumiano, dlaczego, co i jak. Do tej pory sa tacy, jak pewni faceci z KTH w Sztokholmie, ktorzy podaja w watpliwosc, czy istotnie rozumiemy jak dziala skrzydlo. Ale dosc dygresji. Lepiej historia.
Dwoch panow, Kutta i Zukowski, zupelnie niezaleznie, na samym poczatku 20-go wieku, doszlo w swych teoriach (nie w warsztacie rowerowym braci Wright) do wniosku, ze zeby skrzydlo latalo, powinna byc niezerowa, matematycznie precyzyjnie zdefiniowana cyrkulacja oplywu (niezerowa calka liniowa po zamknietej krzywej obiegajacej profil skrzydla w kolo, z pola predkosci przeplywu powietrza wzdluz krzywej). Wyprowadzimy ich prawo sily nosnej w nastepnym rodziale bloga. W tamtych czasach sie nie marzylo o lotach transsonicznych, swiat byl piekny i szczesliwy, to jest opisany potencjalna teoria przeplywu zezwalajaca na liniowa kombinacje (superpozycje) rozwiazan. Ludzie mogli zyc leniwie, zgodnie z zasada najmniejszego dzialania, ...ok. do rzeczy.
Prandtl. To nazwisko bawarskiego fizyka powinno byc wymawiane, jesli tylko ktos da rade, z wielkim szacunkiem. w wieku 35 lat uznal, ze czas sie ozenic i poprosil swego profesora o reke corki, nie specyfikujac ktorej. rodzice wybrali najstarsza. malzenstwo bylo dlugie i szczesliwe, ale nie dlatego chce napisac o Prandtlu. nie tylko zrobil on wiele w teorii ksztaltow oplywowych (sterowce; byl licencjonowanym baloniarzem, chociaz do samolotu przezornie wsiadl pierwszy raz dopiero majac 55 lat), byl tworca koncepcji warstwy granicznej i pierwszym badaczem turbulentnych strug. Wymyslil i zmierzyl wiele w dziedzinie przeplywow naddzwiekowych (regula Prandtla-Glauerta), fal uderzeniowych i w fizyce gazu (bezwymiarowa liczba Pr). takze byl pionierem w rozwiazywaniu przeplywow wokol praktycznych skrzydel (nie tylko ich profili, w przekroju, jak Zukowski!), uzywajac wspomnianej juz zasady superpozycji. badal i nazwal opor indukowany. niewielu ludzi przed i po nim wiedzialo wiecej o hydro- i aerodynamice, nic dziwnego ze Heisenberg zdecydowal sie robic pod jego wplywem doktorat z hydrodynamiki warstw granicznych.
W zgodzie z niescisliwoscia powietrza w przeplywach o malych predkosciach i przy zaniedbaniu lepkosci, latwo pokazac za Lordem Kelvinem, ze wirowosc (rotacja, curl) pola predkosci poza samolotem, jesli byla na poczatku zerowa, to powinna pozostac zerowa. juz przed Prandtlem wiedziano, ze elementarnymi, prostymi rozwiazaniami rownan eulera cieczy niescisliwej sa wiry i sciezki wirowe takie, ze cyrkulacja w nich znika wszedzie poza dokladnie ta linia, na ktorej siedzi wirowosc (Gamma) i z ktora jest niesiona przeplywem bezwladnie, dokads tam, przez ciecz. wirowosc pojawia sie na samolocie, gdyz gaz ma lepkosc a ta nie pozwala mu nigdzie plynac na samym skrzydle. Jednak Lord (Kelvin) zabronil juz dawno takim sciezkom wirowym w przestrzeni miec konce, musza tworzyc zamkniete linie. Nota bene, Amazonka wlasnie dostarczyla mi ksiazke Alana 'Papieza' (Alan Pope, 2009; bardzo wielu 'papiezy' znalo sie na fizyce, to inny Pope niz ten od turbulencji, ten rozwijal teorie skrzydla w latach 40-ch). Po jej lekturze musze dodac, ze Helmholtz w 1858 r. przyczynil sie do opisu zachowania wirow i byc moze trzy z czterech zasad nalezaloby nazywac jego imieniem, a nie pare lat mlodszego Kelvina vel Thompsona.
Przeplyw wokol wirow mozna liczyc z prawa Biota-Savarta, jak w przypadku indukcji magnetycznej wokol obwodu z pradem. na przyklad, wokol prostoliniowego wiru predkosc jest prostopadla do promienia r pociagnietego z linii linii wiru do danego punktu przestrzeni i rowna Gamma/(2 pi r). i ludzie juz w 19 w. zaczeli robic z tego dobry uzytek. Prandtl, w szczegolnosci, tak sie osmielil, ze zaczal juz w czasach pierwszych budowanych na chybil-trafil platowcow probowac zrozumiec przeplyw wokol skrzydla w 3-D, wyjasnic role wirow na koncach skrzydel (wingtip vortices) i ich zwiazek z oporem indukowanym, a nawet optymalizowac rozklad sily wzdluz skrzydla, optymalizowac ksztalt skrzydla widzianego z gory tak, by dawalo najmniejszy opor. to bylo naprawde cos! kiedys ludzie nie mieli komputerow. bylo to zbawienne, bo nie mieli wyboru -- musieli myslec. (tylko Kelvin nie lubil o tym myslec, bo staruszek kompletnie nie wierzyl w powodzenie pomyslu latania bez uzycia balonow, czyli dzis powiedzielibysmy.... byl zwolennikiem koncepcji helu :)
Dla nas jest to o tyle wazne zeby zrozumiec, jak Prandtl liczyl sily nosne na dowolnego ksztaltu skrzydlach, ze chcielibysmy zajac sie niesymetrycznym skrzydlem #101. Jak sie okaze, to nie jest w ogolnosci tak, ze jak kawalek skrzydla produkowal 10 ton sily nosnej przed urwaniem, to sila nosna samolotu po jego urwaniu spadnie o 10 ton! To trzeba troszke policzyc, najlepiej tak jak Prandtl, a nie zaraz tak jak tutaj, na obrazku z lewej: CFD, RANS, i tak dalej.
* * *
Metoda Prandtla jest taka. Wlasnie nie 'byla' tylko 'jest', bo wlasciwie ciagle jest praktycznie stosowana przy wstepnym projektowaniu samolotow. Juz Kutta i Zukowski wiedzieli, ze skrzydlo mozna zastapic myslowo wirem liniowym biegnacym wzdluz niego (wtedy skrzydla nie miewaly jeszcze zreszta skosu, wiec wir naprawde prostoliniowy), o takiej "mocy" a wlasciwie rotacji Gamma zeby uniesc caly samolot. skrzydla traktowano jak nieskonczenie wiele razy powielony ten sam profil plata Zukowskiego, liczony nota bene na plaszczyznie zespolonej, czy tez jakis inny. Nie zajmowano sie tym problemem, ze prawdziwe skrzydla sa zwykle skonczonej dlugosci. poniewaz jednak nieskonczone skrzydla byly juz wtedy bardzo drogie, Prandtl postanowil zrozumiec jak dziala i zoptymalizowac skrzydlo skonczone. W tym celu wzial wir Kutty i Zukowskiego i zagial go na koncach skrzydla pozwalajac mu oderwac sie od niego i pofrunac w dal, za samolot. kiedy Helmholtz i Kelvin bardzo protestowali (zza grobu), odpowiadano, wlasciwie slusznie, ze przeplyw jest ustalony a druga czesc wiru ktora go, jak twardo wymagali, zamyka, zostala gdzies kolo lotniska i nie jest wazna.
Poniewaz wiry Kelvina-Helmholtza (albo tylko Helmholtza, jesli jestesmy z Niemiec) nie traca bez powodu wirowosci, czyli wzdluz ich calej dlugosci opisane sa jedna jedyna liczba Gamma (chyba, ze sie rozdzielaja na dwa osobne wiry), a przeplyw wokol poczatku skrzydla i konca skrzydla moze sie znacznie roznic, co Prandtl postanowil wlasnie zbadac szczegolowo, wobec tego zaproponowal on patrzec na skrzydlo jako nosnik nie jednego wiru, a calego zestawu wirow o roznej dlugosci wzdluz skrzydla i roznej wirowosci, w sumie o wirowosci Gamma(y), gdzie y bylo kierunkiem wdluz prostego skrzydla. [To najdluzsze zdanie w tym blogu, przysiegam].
Kazdy wir Prandtla jest przylejony do skrzydla na pewnym jego kawalku (po policzeniu przeplywu wokol plaskiej deski zrozumiano ze w ogolnosci, cienkie skrzydla maja te swoje wiry zaczepione w 1/4 profilu, liczac od przedniej krawedzi natarcia skrzydla). Kazdy z tych skladowych wirow na koncu swojego panelu skrzydla zagina sie do tylu i biegnie niosac swoja niezmieniona cyrkulacje Gamma az do ostrego konca profilu (nie odrywajac sie, bo taki warunek postawil przeplywowi Kutta). Potem sie odrywa i frunie jako swobodna linia wirowa. Bez komputera zakladano dla uproszczenia, ze swobodne wiry oddalaja sie od skrzydla po prostej, ale teraz ja na przyklad pozwalam im na troche wiecej swobody.
Piekno tej teorii fizycznej jest dwojakie. Po pierwsze, nie szukamy pola przeplywu w 3 wymiarach, a tylko na 2-wymiarowej powierzchni samolotu, lub wrecz quasi-1-wymiarowym modelu skrzydla z ulozonymi na nim wirami. po drugie, zasada superpozycji zadanie znalezienia zestawu N liczb Gamma(y) wzdluz skrzydla sprowadza do zadania rozwiazania N rownan z N niewiadomymi. to jest naprawde pestka, w porownaniu z tym jak trzeba sie nameczyc, zeby rozwiazac nieliniowe rownania Eulera lub Naviera-Stokesa, ktora zamiast algebraicznych , sa rownaniami czastkowymi rozniczkowymi o niejasnym nieraz rodzaju. (do tej pory matematycy probuja udowadniac formalnie, ze rozwiazania istnieja i sa jednoznaczne.) a tu - jakaz elegancja. uklad N x N, algebra liniowa. dlaczego N x N? bo kazdy wir powoduje swoj niezalezny od innych wklad do pola predkosci, liniowo dodajacy sie do innych. a wiec jesli zazadamy, zeby spelnionych bylo w 2 czy 3 wymiarach (to wszystko jedno, nie komplikuje to obliczen) N jakichs warunkow brzegowych, powiedzmy zeby w 3/4 dlugosci profilu skrzydla, w srodkowych N punktach paneli skrzydla, sumaryczny przeplyw powietrza lecial wzdluz skrzydla czy kadluba/ogona, a nie do jego srodka, to dostaniemy N warunkow i N powiazanych ze soba na sposob liniowy niewiadomych. fizyka problemu zapewnia jeszcze jako bonus, ze macierz bedzie z tych dajacych sie latwo odwrocic; co prawda lepiej na komputerze niz na kartce papieru, jesli N = 80 do 400, jak ja wzialem.
Technicznie rzecz biorac, mamy do wyboru jak ulozyc sobie w przestrzeni rozwiazanie z rozwiazan elementarnych (wirow Kelvina-Helmholtza, v ~ 1/r): mozna myslec o nich jako liniach przyczepionych do 1/4 profilu, o roznej dlugosci, albo o ustalonej malej dlugosci wzdluz wspolrzednej y, ale lezacych kolo siebie a nie jeden wewnatrz drugiego. W obu przypadkach beda stanowic podkowy lecace wzdluz rozpietosci, a potem w tyl po skrzydle i odrywajace sie od niego. 
ten wybor naprawde nie ma znaczenia, gdyz jest tych wirow, tych niewiadomych cyrkulacji, zawsze dokladnie N i sumuja sie do tego samego rozkladu wirowosci. Zawsze najsilniejsze z wirow odrywaja sie na koncach skrzydla tworzac slynne wiry koncowkowe. Nota bene, te wiry sa istota sily nosnej a nie czyms co mozna zlikwidowac przez optymalizacje skrzydla. owszem, zjadaja energie powodujac opor indukowany, ale sa czescia calego ukladu wirow, ktory daje sile nosna.
tego za dobrze ilustrator tutaj po prawej nie oddal, ale ten glowny wir biegnacy wzdluz skrzydla ma zmienne natezenie wiec powinna byc malejaca grubosc czarnek szerokiej kreski (lub w rownowaznym spojrzeniu, sklada sie z roznej liczby mniejszych wirow, nie narysowanych). W obu przypadkach wdluz calego skrzydla zrzucane sa male wiry swobodne, wmrozone potem w przeplyw, a na koncu skrzydla skupiaja sie w zdecydowanie najsilniejszy wir koncowy.
Suma wirow podluznych ma zly, ujemny wklad do sily nosnej zewnetrznego skrzydla. Pokazuje to ten rysunek:
Jest tak dlatego, ze wiry te powoduja downwash (opuszczanie sie powietrza) na gorna powierzchnie skrzydla, na ktorej wolelibysmy miec podcisnienie, wytworzone tam przy pomocy Bernoulliego i jego prawa, wskutek przyspieszonego tempa przeplywu powietrza. wir koncowy jednak tu przeszkadza, skierowujac swoj dodatkowy stumien powietrza w dol, a wiec efektywnie zmniejszajac kat natarcia koncowki skrzydla! Tym wlasnie kasuje on sile nosna dokladnie do zera na samym koncu skrzydla. tak wywnioskowal i tak policzyl, ukladajac i rozwiazujac rownanie rozniczkowo-calkowe prawie 100 lat temu Prandtl. Nazywa sie to teoria linii nosnej, lifting line theory (nie ma jeszcze polskiej strony wiki).
Jesli wiec chcemy sie dowiedziec, jaka sile nosna daje dlugie, a jaka krotkie skrzydlo Tu-154M, a wiec jaki jest moment obrotowy wokol osi "x", biegnacej zwyczajowo wzdluz podluznej osi poziomej kadluba, to musimy ulozyc te N rownan z N niewiadomymi Gammami, i je uczciwie rozwiazac, tym razem uwgledniajac dokladne polozenie w 3 wymiarach paneli skosnego juz tym razem, powyginanego realistycznie w rozne strony i zaopatrzonego w dodatki (klapy, lotki) skrzydla. Uzyjemy pewnej liczby (N<1000) nieskomplikowanych paneli, na ktorych myslowo zaczepiamy wiry, a potem pozwolimy im stoczyc sie z krawedzi skrzydla i poleciec, wirujac (w polu predkosci wytworzonym przez ich kuzynow).
Jesli dodatkowo zalozymy, ze samolot juz sie kreci wokol osi podluznej x, wtedy dowiemy sie w koncu, jak zmienil sie rozklad sily na skrzydle, jak szybko rozkrecal sie on wokol tej osi i do jakiej konkretnie koncowej predkosci obrotu ωx zmierzal, a takze jak blisko mu sie udalo do niej dojsc pod Smolenskiem. To musimy wiedziec w szczegolach, inaczej nie przewidzimy w jakim przechyle spadl #101 i czy mial szanse przycinac to co podobno przycinal, i w koncu takze jak wysoko znajdowal sie w ktorym miejscu nad ziemia (tym wszystkim zejme sie dopiero w rozdz. 24).
* * *
Na tym zakoncze wstep do ogolnej teorii skrzydla. Oczywiscie, to co wymyslili panowie w cylindrach i co pozwolilo im zrozumiec, jak dziala 3-wymiarowe skrzydlo z przyczepionymi N=1 czy kilkoma elementarnymi rozwiazaniami pola przeplywu, teraz robia komputery uzywajac N > 1000 w metodach panelowych, popularnych w swiecie aero jak i auto, albo przy uzyciu siatek M x M x M, gdzie M dochodzi ostatnio do 1000, rozwiazujac rowniania Naviera-Stokesa cieczy lepkiej i scisliwej. Ale palma pierwszenstwa i przyjemnosc zrozumienia fizyki nalezy do panow w surdutach.
Prandtl przewidzial poprawnie, ze najlepszy pod wzgledem oporu rozklad sily (czy wirowosci, czy wpolczynnika sily nosnej CL, bo to pokrewne pojecia w jego teorii), jest eliptyczny, podobnie jak sam ksztalt plaskiego skrzydla. Zobaczymy (dopiero w rozdz. 24 i 28!), czy skrzydlo TU-154M jest bliskie jego wytycznych co do rozkladu sily. Bowiem co do eliptycznego ksztaltu i plaskosci z pewnoscia nie jest!
-----------------------------------------
Poleciłbym na początek książkę on-line (Kroo, 2007, zob bibliografie) i Katz & Plotkin (2006). Ta pierwsza jest szkicowa, za to druga była podręcznikiem, po przeczytaniu którego wielu inżynierów i fizyków zaczęło robić projekty dla lotnictwa.
Komentarze