Czy istnieje jeden, uniwersalny scenariusz przejścia do chaosu ?

Zgodnie z podejściem geometrycznym układem dynamicznym nazywa się jednoparametrową ciągłą lub dyskretną grupę (półgrupę )j(x) przekształceń metrycznej przestrzeni fazowej M w siebie. Grupy ciągłe nazywa się przy tym potokami, a dyskretne kaskadami [3, 11]. Intensywne zastosowanie podejścia geometrycznego do analizy układów dynamicznych rozpoczęło się wraz z ukazaniem się znanej obecnie szeroko, pracy amerykańskiego matematyka S. Smale’a, który wprowadził konstrukcje pewnego typu odwzorowania zwaną obecnie jako podkowę Smale’a [5]. Pokazał on, że stabilnym zbiorem granicznym (atraktorem) dyskretnego układu dynamicznego może nie być zupełnie gładka rozmaitość o całkowitym wymiarze, jaką np. jest stabilny cykl graniczny lub torus, a zupełnie inny samopodobny zbiór fraktalny o wymiarze ułamkowym. Oprócz tego pokazano, że zachowanie trajektorii układu dynamicznego na takim dziwnym atraktorze ( terminologia D. Ruelle, F. Takensa [6] ) jest bardzo złożona, łącząc w sobie globalną stabilność ( trajektorie nie uchodzą z pewnego obszaru przestrzeni fazowej ) z lokalną niestabilnością oddzielnych bliskich sobie trajektorii – trajektorie eksponencjalnie rozbiegają się w czasie, co jest własnością charakterystyczną dla obecności na takim atraktorze zarówno dodatnich jak i ujemnych wykładników Lapunowa. W dalszej kolejności znaleziono i inne chaotyczne układy dynamiczne, opisywane przez odwzorowania dyskretne i posiadające dziwne atraktory np. odwzorowanie logistyczne, odwzorowanie Henona, solenoid Smale’a-Williamsa [5, 11- 16] i inne.

Ponieważ analiza własności ciągłych układów dynamicznych, opisywanych przez rr, może być sprowadzona do analizy własności pewnego odwzorowania – odwzorowania Poincarego, to ujawnione w ciągłych układach dynamicznych nieregularne, chaotyczne zachowanie trajektorii, wiązano zazwyczaj z obecnością w takim układzie dziwnego atraktora. Jednakże formalny dowód takiego faktu nawet dla popularnego układu trzech rrz Lorenza, w którym to po raz pierwszy zauważono nieregularne zachowanie trajektorii [17] , napotkał na poważne trudności. Wielorakie próby prowadzone w przeciągu wielu lat uzasadnienia z użyciem metod geometrycznej teorii układów dynamicznych, obecności dziwnego atraktora w otoczeniu pętli separatys siodło- węzeł i siodło- ognisko w układzie Lorenza zakończyły się niepowodzeniem [18 – 27]. Oprócz tego, zagadnienie pokazania czy zachowanie rozwiązań układu Lorenza pokrywa się z dynamiką geometrycznego atraktora Lorenza zostało sformułowane przez S. Smale’a jako jeden z 18-tu najbardziej znaczących problemów XXI wieku [28]. Wyniki niedawnych prac autorów [29 – 31] pozwoliły w pewnym stopniu twierdzić, ze podejście geometryczne, rozwinięte dla odwzorowań dyskretnych, które to pozwala otrzymać dla nich szereg ważnych wyników, nie jest adekwatne w zastosowaniu do ciągłych układów dynamicznych, opisywanych przez rrz. Odnosi się wrażenie, że sama definicja złożonego (nieregularnego ) atraktora ciągłego układu dynamicznego jako dziwnego atraktora, jak również takie tradycyjne rozdziały dynamiki chaotycznej, jak obliczanie wymiaru atraktora, scenariusza przejścia do chaosu i kryteria chaosu dynamicznego wymagają znaczącej korekty.

 Jak pokazują liczne przykłady [29 – 34], ani obecność dodatniego wykładnika Lapunowa, ani obecność pętli separatys siodło- węzeł i siodło- ognisko nie są warunkami koniecznymi istnienia w układzie rr chaotycznej dynamiki. Oprócz tego, nieregularne atraktory ogromnej klasy trójwymiarowych dysypatywnych autonomicznych układów rr, zawierającej również wszystkie klasyczne układy chaotyczne, kreowane są w wyniku jednych i tych samych kaskad miękkich bifurkacji stabilnych cykli granicznych. Początkiem zawsze jest kaskada bifurkacji podwojenia okresu Feigenbauma, przechodząca w pełną lub nie pełną subharmoniczną kaskadę bifurkacji Szarkowskiego, która jest generowana przez pełną lub nie pełną kaskadę homokliniczną bifurkacji.

W przedstawionej książce, postępując za pracą N. Magnickiego [35], przedstawiamy teorię takich atraktorów, nazwanych syngularnymi. Istnieją one tylko w oddzielnych punktach gromadzenia się wartości parametru bifurkacyjnego i zawierają w dowolnym swoim otoczeniu niestabilne cykle o różnych okresach. Dowiedziono, ze dowolny syngularny atraktor trójwymiarowego autonomicznego dysypatywnego i nieliniowego układu rrz leży na dwuwymiarowej wielogałęziowej powierzchni trójwymiarowej przestrzeni fazowej, będącej domknięciem dwuwymiarowej inwariantnej, niestabilnej rozmaitości syngularnego cyklu siodłowego, dającej początek kaskadzie bifurkacji podwojenia okresu.

W związku z tym faktem wymiar syngularnego atraktora trójwymiarowego układu nie może przewyższać wartości 2.