Ciąg dalszy cyklu o salonowych starociach. Tym razem inny autor, ten sam temat, także celowe złamanie chronologii, bo trwa jeszcze porządkowanie materiałów do notki o nr 2.
„Dobrałem okrąg, który dobrze pasuje do krzywej”
W tekście ford.salon24.pl/372965,smolenska-brzoza-i-12-metrow-cos-tu-nie-gra pada następujące zdanie: „Teraz proszę się przyjrzeć ostremu przegięciu wykresu w dół w okolicy 5 m od brzozy. Wygląda na bardzo ostry zakręt. W celu pomiaru krzywizny dobrałem okrąg, który do niej dobrze pasuje. Jego średnica to 3 m.”
W celu zachowania poglądowości, dla porównania, w podobny sposób dobrałem okrąg, choć dla innej krzywej.
Promień krzywizny wyznaczony ze wzoru
jest w dwóch punktach styczności prawie trzykrotnie większy niż na rysunku a w trzecim – nieskończony.
Wróćmy do oryginału, w którym następują obliczenia z „odczytanym” promieniem krzywizny:
Obliczenia
Ruchowi po krzywej towarzyszy siła odśrodkowa, którą możemy obliczyć ze wzoru:
1) F = a*m
gdzie
(2) a = v² / r
Nie mamy podanej prędkości, przyjmuję 144 km/h (40 m/s). W dalszej części uzasadnię, że wybór prędkości w pewnym zakresie nie zmienia znacząco wyniku.
Przyjmujemy:
m = 600 kg
r = 1,5 m (średnica przez pół)
v = 40 m/s
Liczymy z (2):
(3) a = 40²/1,5 = 1600/1,5 = 1067 m/s²
Kilka słów mojego komentarza. Przyjmijmy, że rysunek tworzy płaszczyznę xy. Przyspieszenie możemy rozłożyć na sumę wektorów
a=axyT + axyN + az
Z kolei axyN = (Vx2 + Vy2)/rxy, gdzie rxy jest odczytanym promieniem krzywizny. Wyrażenie w liczniku różni się więc od kwadratu prędkości o wartość Vz2, tak więc bez znajomości przebiegów czasowych wszystkich składowych prędkości szacowanie przyspieszeń nie ma sensu. Nawet przy poprawnie odczytanym promieniu krzywizny.
Ilustruje to prosty przykład:
Niech punkt materialny porusza się po okręgu jednostkowym z V=1. Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) jest oczywiście równe 1.
Na ten sam ruch patrzymy w układzie współrzędnych, który powstaje z poprzedniego po obrocie o kąt ᵝ wokół osi y.
Promień krzywizny w punkcie P wynosi teraz r = 0,22 = 0,04. Podstawiając V=1 otrzymalibyśmy axyT = 25. Ogólnie, stosując „metodę” z notki Forda Prefecta, dochodzimy do wyniku zawyżonego o czynnik 1/cos2ᵝ razy, gdzie ᵝ oznacza kąt między wektorem stycznym do trajektorii a płaszczyzną rysunku.
Trzeba przyznać, że FP dopuszczał możliwość pomyłki :
„Są trzy możliwości: - 1 Pomyliłem się (…) Mam nadzieję, że popróbujecie wykazać punkt 1. ”
Bloger miał wielu czytelników. Był wśród nich co najmniej jeden, którego ignorancją tłumaczyć nie można. Zamiast jednak szybko wyjaśnić nieporozumienie ykw wręcz udziela rekomendacji: „Ostatnio Ford Prefect fajnie przybliżył zakrzywiony odcinek trajektorii w symulacji prof. Biniendy jako okrag o tak malym promieniu, 1.5 m, ze dostal oszacowanie |a|, przyspieszenia na tym odcinku znajdujacym sie jakies 5-6 m za podstawa drzewa, rowne |a| ~ 100 g.” Ciekawe czy władze uniwersytetu w Toronto uznałyby to za działalność dobrze służącą prestiżowi uczelni.
Wracając do tematu – ponieważ żaden ze znajomych FP nie udzielił mu sensownej odpowiedzi, pomimo tego, że niektórzy z nich mogli to zrobić, odpowiadam niejako w zastępstwie:
-
Promień krzywizny jest odwrotnością wartości pochodnej wektora stycznego do trajektorii, względem parametryzacji unormowanej, czyli takiej, gdzie parametrem jest długość krzywej. Szczegóły znajdzie pan w dowolnym podręczniku do geometrii różniczkowej. To, co Pan w swojej notce zaprezentował, nie jest metodą wyznaczania krzywizny
-
Wykresy bardzo słabej jakości graficznej, w dodatku wielokrotnie deformowane przez różne programy do obróbki obrazu, w żadnym wypadku nie nadają się do obliczenia czy choćby oszacowania krzywizny w sposób wiarygodny
-
Wobec pkt. 1 i 2 wartość promienia krzywizny (1,5 m) jest całkowicie przypadkowa
-
W obliczeniach używa Pan prędkości zamiast jej rzutu na płaszczyznę wykresu. Prowadzi to do wyników zawyżonych i całkowicie przypadkowych
Otrzymana przez Pana wartość 100 g jest więc najzupełniej przypadkowa.
