O miarodajności rachunku logicznego

Notka     Falsum sequitur quodlibet        doczekała się kilkudziesięciu komentarzy i – na pewien czas – została porzucona przez autora. Nie jest jednak sierotą co dziś zostanie potwierdzone. Powracam do wątków poruszanych w komentarzach, co dostarczy mi zajęcia na długo.

 

Rachunki logiczne

Z jednej strony mamy wnioskowania, które są ewidentnie, oczywiście dedukcyjne, i takie, które równie oczywiście dedukcyjne nie są. Z drugiej strony mamy ważkie wnioskowania, odnośnie do których nie potrafimy dostrzec gołym okiem tego, czy są one dedukcyjne, czy nie. Te ostatnie są zwykle dla naszej wiedzy najdonioślejsze. Logicy chcą jednak zawsze wiedzieć, czy w danym wypadku faktycznie mamy do czynienia z wynikaniem (ewentualnie sprzecznością), czy nie. Są jednak zwykłymi śmiertelnikami i nie mają żadnego mistycznego wglądu w istotę wynikania. W każdym razie nie mają go więcej niż reszta ludzkiej rasy. Okazuje się, że sprawa nie jest mimo wszystko beznadziejna. Jak się bowiem wydaje, możliwe jest sprowadzanie nieoczywistych przypadków zachodzenia lub niezachodzenia związków logicznych do przypadków oczywistych. Można mianowicie wszystkie wątpliwe pod względem dedukcyjności wnioskowania rozkładać na czynniki pierwsze, na kroki niebudzące wątpliwości. Ta ide a została wyrażona przez Sherlocka Holmesa w opowiadaniu The Adventure of the Dancing Men Arthura Conan Dyle’a w następujących słowach: „[...] w sumie bez trudu można konstruować ciągi wnioskowań, z których każde kolejne opiera się na poprzednich i każde samo w sobie jest proste. Jeśli, dokonawszy tego,usuniemy wszystkie pośrednie kroki, a następnie zaprezentujemy słuchaczom tylko punkt wyjścia i ostatnią konkluzję, możemy wywołać oszałamiające — choć, być może, bezpodstawnie oszałamiające — wrażenie”.

 

Żądamy przy tym, aby procedura redukcji jednych związków logicznych do innych była przeprowadzana z najwyższą precyzją, co upodabnia logikę pod względem metody do matematyki. Motywem tego żądania jest fakt, że ocena konkluzywności wnioskowania jest materią delikatną i nawet niewielka niedokładność może prowadzić w tej materii do błędu. Właśnie ze względu na żądanie najwyższej precyzji mówimy o rachunkach logicznych, chcemy bowiem uczynić z oceny wnioskowań dedukcyjnych proces obliczeniowy. W tym celu konstruujemy sztuczne języki . Uczymy się badać związki logiczne zachodzące w tych językach. Te badania prowadzimy metodami matematycznymi. Z drugiej strony usiłujemy przenieść uzyskane wyniki na realne związki logiczne, zachodzące w autentycznych wnioskowaniach. Jest to możliwe pod tym względem, że obraz wynikania, dostarczony przez sztuczny język, jest dostatecznie wiernym odbiciem prawdziwego związku wynikania. Mówimy wówczas, że logika jest miarodajna. Widać więc, że logika jest bardziej podobna do fizyki niż do matematyki.

 

Badania wartości poznawczej nie można ograniczyć do własności formalnych. Zauważmy, że celem rozwijania rachunku logicznego była ocena konkluzywności jakichś faktycznie przeprowadznych wnioskowań. Tymczasem rachunek jest skonstruowany w taki sposób, że pozwala na ocenę zmyślonych wnioskowań, należących do jakiegoś sztucznego, specjalnie spreparowanego języka. Należy więc zbadać, w jakim stopniu uzyskane drogą rachunkową wyniki wolno przenieść na faktycznie interesujące nas wnioskowania. Jest to problem miarodajności rachunku logicznego.Należy rozważyć, czy uproszczony model wynikania, zbudowany w sztucznym języku, jest pod istotnymi względami dostatecznie podobny do wynikania zachodzącego między faktycznie interesującymi nas wyrażeniami. Jeśli tak jest, to mówi my, że zbudowany rachunek logiczny jest miarodajny dla określonego języka lub określonej grupy wnioskowań lub że jest z nią współmierny. W przeciwnym wypadku mówimy, że jest niemiarodajny (niewspółmierny). W odróżnieniu od własności formalnych miarodajność nie może być zbadana metodami czysto matematycznymi.Na tym etapie dociekań trzeba przeprowadzać analizy założeń rozmaitych teorii i analizy znaczeń wyrazów różnych językaów. Są to analizy typu filozoficznego.

 

Zauważmy, że logika pod wieloma względami przypomina — pod względem metody — matematykę. Z tego powodu często jest zaliczana do nauk dedukcyjnych (formalnych), a nawet traktowana jako dział matematyki. Dociekanie miarodajności rachunków upodabnia jednak logikę raczej do fizyki niż do matematyki. Badanie za pomocą metod matematycznych formalnych własności rachunku jest odpowiednikiem zmatematyzowanych konstrukcji fizyki teoretycznej, zaś filozoficzna analiza miarodajności rachunku jest odpowiednikiem eksperymentalnego sprawdzania teorii fizykalnej.

 

 

Wynikanie logiczne

Związek, który łączy przesłanki z konkluzją we wnioskowaniach niezawodnych (dedukcyjnych), nazywa się wynikaniem logicznym. Mówimy, że w niezawodnych wnioskowaniach wniosek wynika logicznie z przesłanek. Pojęcie wynikania, obok pojęcia sprzeczności, należy do najważniejszych pojęć logiki. Przesłanki wnioskowania dedukcyjnego nazywamy często racją wniosku, a wniosek następstwem przesłanek. Związek wynikania logicznego jest więc czasem nazywany związkiem racji i następstwa. Wynikanie logiczne jest też nazywane wyprowadzalnością lub konsekwencją logiczną. Zamiast mówić, że zdanie A wynika logicznie ze zbioru zdań X, mówimy więc nieraz, że zdanie A jest wyprowadzalne ze zbioru X lub że jest konsekwencją (logiczną) zbioru X, zapisując to skrótowo X ⊢ A. Zbiór wszystkich konsekwencji zbioru X określamy jako C(X). Wobec tego, zamiast zapisu X ⊢ A,   można równoważnie pisać,A ∈ C(X).

Wynikanie a prawdziwość

Jeśli między przesłankami a konkluzją jakiegoś wnioskowania zachodzi związek wynikania logicznego, to prawdziwość wniosku jest z koniecznością pociągana przez prawdziwość przesłanek. Samo wynikanie nie gwarantuje jednak prawdziwości przesłanek, czyli materialnej poprawności wnioskowania. Jest ono bowiem jedynie związkiem zachodzącym między przesłankami a wnioskiem i gwarantuje transmisję prawdziwości z przesłanek do wniosku — wszakże pod tym warunkiem, że wszystkie przesłanki są prawdziwe. Zatem wynikanie logiczne wyklucza dokładnie jedną możliwość, mianowicie tę, że wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek jest mimo to fałszywy. Stwierdzając zajście wynikania logicznego, możemy być pewni, że zachodzi jedna z trzech pozostałych możliwości:

 

Samo wynikanie logiczne nie daje nam żadnych podstaw do rozstrzygnięcia, która z tych trzech dopuszczonych możliwości zachodzi.

 

Nie każde wnioskowanie o prawdziwych przesłankach i prawdziwej konkluzji jest dedukcyjne. Z drugiej strony fałsz przesłanek lub wniosku nie wyklucza dedukcyjności. Zatem prawdziwość przesłanek i wniosku nie ma bezpośredniego przełożenia na zachodzenie związku wynikania logicznego. Wykluczona — i to całkiem bezwzględnie — jest tylko ta jedna możliwość, że wszystkie przesłanki są prawdziwe, a wniosek jest fałszywy. Zachodzą więc następujące zależności między wartościami logicznymi przesłanek i konkluzji wnioskowań dedukcyjnych:

 

 

Sformułowane zależności biorą się stąd, że z prawdziwych zdań wynikają tylko zdania prawdziwe, natomiast ze zdań fałszywych mogą wynikać zarówno prawdziwe, jak i fałszywe zdania.

 

1  Nie jestem na tyle mądry ani pracowity, by samodzielnie to wszystko napisać. Ja tylko wybrałem i zestawiłem cytaty (nie zawsze dokładne)  wzięte od ks. prof. Tkaczyka