Co prawda wiadomo, że spin nie jest zjawiskiem klasycznym i trudno wyobrazić sobie wirującą cząstkę o zerowych rozmiarach. Ale skoro kilka poprzednich notek miało luźniejszy charakter, to dziś też pozwolę sobie na takie sobie obliczenia, co to niekoniecznie mają jakieś przełożenie na fizykę, ale zawsze przyjemnie je sobie zrobić ☺. A zadanie na dziś wygląda następująco: wyobraźmy sobie, że elektron jest kulką i ma własny (wirowy) moment pędu. Założę też, że każdy kawałek elektronu wiruje sobie z tą samą prędkością kątową – czyli przy osi porusza się wolno, na równiku najszybciej. No to wprowadzę jeszcze jedno ograniczenie: prędkość na równiku nie może być większa od prędkości światła.
Pierwsze podejście
Potraktujmy nasz elektron jak kulkę: Moment bezwładności jednorodnej kuli
I = (2/5)mR2
Jeśli założymy prędkość kątową ω = c/R możemy obliczyć wartość momentu pędu
j = (2/5)mRc
Z drugiej strony mechanika kwantowa podpowiada ile wynosi moduł momentu pędu spinowego:
Porównując te wzory obliczyłem sobie wartość minimalnego promienia takiego „elektronu”
R ≈ 8,36×10–13m
Mniej się nie da, bo musielibyśmy przekroczyć c na równiku elektronu.
Podejście z większym poszanowaniem STW
Powyższy wynik nie brał pod uwagę tzw. masy relatywistycznej. Pęd relatywistyczny nie jest równy iloczynowi masy i prędkości. Jest na niego skomplikowańszywzór:
Żeby to uwzględnić, trzeba będzie ręcznie policzyć moment pędu, zamiast posiłkować się momentem bezwładności I. Zauważmy, że dla obszaru w pobliżu równika „elektronu” dadzą o wiele większy wkład niż wynikałoby to ze wzoru obowiązującego dla małych prędkości.
Podzieliłem sobie kulę, na kawałki (takie „cienkościenne” wycinki walcopodobne) równo odległe o r od osi obrotu, czyli mające tę samą prędkość liniową.
Objętość takiego wycinka pomnożona przez gęstość i czynnik lorentzowski dała wkład od masy dm, jaki potem wycałkowałem. Przeliczyłem sobie moment pędu całkując: j = ∫ rv dm Podobnie trzeba będzie przeliczyć sobie masę elektronu jako całkę po dm
Odpuszczę sobie przedstawienie wyprowadzenia, choć nie miałbym nic przeciwko temu, żeby ktoś mnie sprawdził. Końcowy wynik to:
j = (1/2)mRc ⇒ R ≈ 6,69×10–13m
i niewiele się różni od poprzedniego przypadku pseudo-nierelatywistycznego.
No i gdyby elektron był kulką, a jego spin miał wynikać z ruchu wirowego, to promień elektronu byłby mniej więcej taki. Bardziej „ścisnąć” go nie można, bopojawi wspomniany problem z prędkością światła.
Wnioski
Powyższy wynik „klasyczny” nie pasuje do innego „klasycznego” podejścia, w którym masa elektronu to inaczej jego energia elektrostatyczna. Pisałem o tym wnotce Trudności elektrodynamiki. W tym ujęciu obliczony promień elektronu jest rzędu 10–15m. Obliczenia te – pewnie podobne wykonywali sto lat temu Goudsmit i Uhlenbeck – pokazują, że spin nie daje naszej klasycznej wyobraźni wielkich szans.
Żeby było ciekawiej, przyroda w ogóle śmieje się z takich intuicji. Dualizm korpuskularno-falowy objawia się między innymi tym, że czasami elektron jest cząstką punktową – górna granica rozmiarów elektronu określona jest doświadczalnie jako 10–22m – a czasami bardzo rozciągłą falą – orbitale atomowe sąrzędu 10–10m, nieoznaczoność położenia elektronów w metalach może być kilka rzędów większa.
* * *
To piąta – ostatnia – wakacyjna notka, która w zamierzeniu ma bardziej bawić niż uczyć. Na koniec przedstawię więc dowcip – śmieszny, ale nie na temat – zasłyszany na wykładzie u jednego z oryginałów wrocławskiego IFT, prof. Jancewicza. Akurat ten wykład miał miejsce 1 kwietnia i wykładowca stwierdził, że to Dzień Fizyka Teoretyka. Nigdy o takim dniu nie słyszeliśmy, ale dobrych okazji… to znaczy świąt nie należy lekceważyć. W ramach świętowania opowiedział nam zgrabną historyjkę:
W Kanadzie, gdzie w sieci panuje inne napięcie niż nasze europejskie 220V(wtedy nominalnie takie było), w pewnym laboratorium pewien profesor z asystentemprzygotowali zestaw doświadczalny. Kiedy trzeba było go wpiąć do gniazdka, ani jeden ani drugi nie wiedzieli czy w tym gniazdku jest 110V czy 220V. Nie mieli pod ręką żadnego miernika, ale profesor znalazł radę, mówiąc do asystenta:
– Niech pan dotknie przewodów. Jeśli jest tam 110V, to słabo pana kopnie i słabo pan przeklnie, jak 220V to zareaguje pan mocniejszym przekleństwem.
– O! to ja dziś spotkałem przechodnia, którego musiało kopnąć 440V – odpowiedział asystent.
