Dziś prezentuję obszerne fragmenty Wstępu do Logiki matematycznej. Autor Willard Van Orman Quine to wybitny logik i filozof, nieźle w Polsce znany. Korzystam z wydania PWN z roku 1974. Sądząc z Przedmowy oraz Przedmowy do wydania zmienionego (odpowiednio 1940 i 1951) zamieszczony tekst Quine napisał najpóźniej w 1951 roku.
Interesujące są nie tylko fragmenty odnoszące się do przeszłości i stanu spraw w czasie pisania przez Quine'a Logiki matematycznej; ciekawe są komentarze dotyczące przyszłości, które my już możemy częściowo zweryfikować.
Z przyczyn technicznych tekst został podzielony na 2 notki, odpowiednio (1) i (2).
Logika matematyczna tak bardzo różni się od tradycyjnej logiki formalnej swoją metodą i tak przewyższa ją subtelnością i zakresem zastosowań, że może być powszechnie i nader słusznie uważana za nową naukę. Jej elementarne początki wywodzą się od George'a Boole'a, żyjącego w połowie ubiegłego wieku. Pojedyncze pomysły zapowiadające logikę matematyczną są znacznie wcześniejsze od prac Boole'a, sięgają mianowicie aż czasów Leibniza. Dopiero jednak począwszy od Boole'a, poprzez Peirce'a, Schrodera, Fregego, Peano, Whiteheada, Russella i ich następców, logika matematyczna rozwijała się bez przerwy, tak iż stała się wielce cenioną dziedziną wiedzy.
Niemniej jednak tradycyjna logika formalna pochodząca w zasadniczym zarysie od Arystotelesa jest bezpośrednią poprzedniczką logiki matematycznej. Uderzające różnice między nimi nie mogą przysłonić faktu, że obie są „logiką" w najściślejszym tego słowa znaczeniu. Z grubsza biorąc, obie mają ten sam przedmiot badań. Nie jest jednak łatwo powiedzieć, czym jest ten przedmiot. Potoczne określenia logiki jako „nauki o koniecznym wynikaniu", jako „nauki o formach" itd. mówią tak niewiele, że nie mogą być traktowane jako odpowiedzi.
Gdy jednak skierujemy uwagę nie na przedmiot logiki, a na jej słownictwo, to łatwo da się ustalić zewnętrzną różnicę między prawdami logiki a zdani ami prawdziwymi innego rodzaju. Zdanie logicznie prawdziwe ma następującą szczególną własność: podstawowe jego składniki, takie jak „jest", „nie", „i", „lub", „jeżeli nie", „jeżeli", „to", „ani nie... ani nie...", „pewien", „każdy" itd., występują w nim w ten sposób, że jest ono prawdziwe niezależnie od innych swoich składników. Rozważmy tedy klasyczny przykład:
(1) Jeżeli każdy człowiek jest śmiertelny i Sokrates jest człowiekiem, to Sokrates jest śmiertelny.
To zdanie nie tylko jest prawdziwe, ale ponadto jego prawdziwość jest niezależna od składników: „człowiek", „śmiertelny", „Sokrates". Zastąpienie tych wyrazów innymi, należącymi do tej samej części mowy, nie może zmienić zdania w fałsz. Każde inne zdanie posiadające formę:
(2) Jeżeli każdy — jest — i — jest —, to — jest —
jest równie prawdziwe, gdy tylko pierwsze i czwarte wolne miejsca zostaną tak samo wypełnione i gdy podobnie stanie się z miejscem drugim i ostatnim oraz trzecim i piątym. Jeszcze prostszą prawdą logiczną jest zdanie:
(3) Sokrates jest śmiertelny lub Sokrates nie jest śmiertelny.
Zastąpienie wyrazów „Sokrates", „śmiertelny" przez inne odpowiednie wyrazy nie może przekształcić tego zdania w fałszywe.
Można powiedzieć, że wyraz występuje w zdaniu w sposób istotny, jeżeli zastąpienie go przez inny, należący do tej samej części mowy, może zmienić to zdanie w fałsz. Jeżeli przypadek ten nie zachodzi, to wtedy wolno nam uważać, że wyraz nie występuje w zdaniu w sposób istotny. Wyrazy „Sokrates" i „człowiek" występują dlatego w sposób istotny w zdaniu „Sokrates jest człowiekiem", ponieważ zdania „Bucyfał jest człowiekiem" i „Sokrates jest koniem" są fałszywe. Z drugiej strony „Sokrates" i „śmiertelny" nie występują w sposób istotny w (3), a „Sokrates", „człowiek" i „śmiertelny" nie występują w sposób istotny w (1). Prawdy logiczne można tedy określić jako te zdania prawdziwe, w których jedynie wyżej wspomniane podstawowe słowa występują w sposób istotny.
Te partykuły tworzą słownik logiki. Są one podstawą każdego rozumowania. Gdybyśmy mieli np. wyodrębnić słownik geologii obejmujący wyrazy występujące w sposób istotny w prawdach geologii, to musielibyśmy włączyć do niego nie tylko takie wyrazy jak „morena", „uskok pokładów" itd., ale także cały słownik logiczny. Podobnie rzecz się przedstawia z wszystkimi innymi dyscyplinami naukowymi. Na skutek tego, prawdy logiki można by uważać po prostu za prawdy geologii, ekonomii itp. Nadaje to pewne znaczenie powiedzeniu, że logika ma w pełni ogólny przedmiot badań i że jest wspólną podstawą poszczególnych nauk.
Liczba wyrazów należących do słownika logicznego może być znacznie zmniejszona, ponieważ niektóre z nich możemy określić za pomocą pozostałych. Znaczenie wyrażenia „jeżeli nie..., to ..."jest dokładnie oddane przez wyraz ,,lub"; zaś jednoczesne użycie wyrażeń „ani nie, ani nie" i „nie" w sposób „ani nie jest tak, że nie, ani nie jest tak, że nie" jest dokładnym tłumaczeniem wyrazu „i". Jeśli tę redukcję przeprowadzimy aż do końca, to słownik logiki będzie zawierał jedynie wyrazy: „jest", „ani nie, ani nie" i symbol odpowiadający wyrazowi ,,każdy", razem z pewną liczbą zaimków uzupełniających to ostatnie pojęcie.
Powszechnie zalicza się do logiki matematycznej lub do tradycyjnej logiki formalnej nie tylko prawdy logiczne w proponowanym znaczeniu — prawdy, w których występują w sposób istotny tylko wyrazy słownika logicznego — lecz także zdania o tych prawdach. Zazwyczaj zalicza się do logiki nie tylko takie zdania jak (1) i (3), ale także takie:
(4) Każde zdanie o formie (2) jest prawdziwe, gdy pierwsze i czwarte miejsca puste zostaną jednakowo wypełnione i rzecz przedstawia się podobnie w przypadku drugiego i ostatniego miejsca oraz trzeciego i piątego.
Musimy tedy odróżnić logikę w dwóch znaczeniach: szerszym i węższym. Logika w węższym znaczeniu obejmuje te prawdy, w których w sposób istotny występuje wyłącznie tzw. słownictwo logiczne. Logika w szerszym znaczeniu obejmuje logikę w węższym znaczeniu i rozważania o tej ostatniej. Wypowiedzi o logice w węższym znaczeniu, a przynajmniej sporą ich część, można określić jako syntaktykę formalną (por. rozdz. VII). Przez wiele lat termin „logika" był także używany na oznaczenie szerokiego wachlarza innych zagadnień zbliżonych do retoryki, psychologii, epistemologii i metafizyki. Nie będę jednak usiłował znaleźć wspólnego pierwiastka w tych tak bardzo różniących się zastosowaniach terminu „logika".
Przystępując do wyżej opisanego określenia prawdy logicznej uznaliśmy, że ogólne pojęcie prawdy jest nam dane. Odróżniliśmy po prostu prawdy logiczne od innych prawd wskazując, które wyrazy występują w sposób istotny w prawdach logicznych. Otóż może się wydawać, że ogólne pojęcie prawdy, jako centralny punkt trudnych zagadnień filozoficznych, jest zbyt skomplikowane, aby je przyjąć jako samo przez się zrozumiałe. Odrzucanie prawdy przez wielkie „P" jest ulubioną metodą upodobniania się do tych przesadnych uczonych, którzy chcieliby określać nawet to, co określenia nie wymaga. W rzeczywistości bowiem nie da się zaprzeczyć, iż wiemy, kiedy można powiedzieć, że dane zdanie jest prawdziwe — bezwzględnie Prawdziwe — w tym samym stopniu, w jakim rozumiemy, co ono znaczy. Okoliczności, w których wolno zdanie:
(5) Jan pali papierosy
nazwać prawdziwym, są dokładnie tymi samymi okolicznościami, w których można powiedzieć, że Jan pali papierosy. Prawdziwość zdania (5) nie jest bardziej tajemnicza niż pojęcie Jana i palenia papierosów. Wyraz „prawdziwe" zastosowany do dowolnego zdania S jest tak jasny, jak najmniej jasny wyraz zdania S; albowiem powiedzieć, że S jest prawdziwe, to po prostu powiedzieć S. Ten fakt wydaje się usprawiedliwiać obecne, wprowadzające w zagadnienie odwołanie się do ogólnego pojęcia prawdy, niezależnie od tego, jakie subtelne problemy wiążące się z omawianym pojęciem mogą się pojawić.
Aby stwierdzić prawdziwość zdania (5), nie wystarcza popatrzeć na samo zdanie; musimy ponadto obserwować Jana. Podobnie przedstawia się rzecz z większością innych zdań. I tak, gdy mówimy, że do zadań geologa należy wykrywanie prawd geologicznych, nie skazujemy go na ślęczenie nad zdaniami; przeciwnie, każemy mu spędzać znaczną część czasu na badaniach urwisk i kraterów wulkanicznych. Z logiką i w ogóle z matematyką rzecz przedstawia się inaczej. Prawdziwość np. (1) i (3) można stwierdzić przez zaznajomienie się jedynie z tymi zdaniami. Gdy mamy do czynienia z dowolną prawdą logiczną lub prawdziwym zdaniem matematyki, niezależnie od złożoności tego zdania możemy poznać jego prawdziwość—jeśli ją w ogóle poznajemy — przez zwykłe przyjrzenie się mu i zastanowienie się nad nim lub przez dokonanie pewnej kalkulacji. Obserwacja kraterów, probówek lub ludzkiego zachowania się jest w tym przypadku bezcelowa. Gdy prawdy logiki są poznawalne, to kryteria dotyczące ich prawdziwości można skonstruować za pomocą terminów mówiących o mniej czy bardziej złożonych, zewnętrznych, graficznych cechach zdań. To samo odnosi się ogólnie do matematyki, i z tego właśnie względu logicy i matematycy znacznie częściej mówią o zdaniach niż geologowie. Stanowi to również rację, dla której uważa się, że logika w sensie szerszym zawiera wypowiedzi o zdaniach logiki w sensie węższym; w geologii natomiast nie przeprowadza się zazwyczaj takiego rozróżnienia.
