Jeżeli reguły odnoszące się do prawd logicznych lub matematycznych należy budować za pomocą wyrażeń odnoszących się do wizualnych cech zdań, to pierwszym ważnym krokiem w tym kierunku jest taka reforma i uproszczenie języka, aby tym właśnie cechom zdań nadać najprostszą postać. Reforma tego typu dawno już została przeprowadzona w matematyce. Najbardziej podstawowe odstępstwo od języka potocznego stanowi prawdopodobnie użycie nawiasów dla zaznaczenia, że wyrazy występują grupami, oraz użycie zmiennych dla uwidocznienia tych wzajemnych powiązań, dla których język potoczny używa zaimków.
Podobna reforma, zapoczątkowana przez Boole'a, stopniowo dokonywała się w logice dzięki rywalizacji z matematyką. Wprowadzone zmiany spowodowały tak wyraźny kontrast między logiką starą a nową, że ta ostatnia często jest nazywana logiką symboliczną. Aby jednak w pełni przeprowadzić tak poważne przedsięwzięcie, jak sformułowanie kryterium prawdy, potrzebne są jeszcze dalej idące reformy języka. Zmniejszenie do minimum liczby pojęć logicznych i matematycznych przez definiowanie jednych wyrażeń za pomocą innych jest w tym względzie pożyteczne, ponieważ pozwala to zmniejszyć różnorodność zdań, których ma dotyczyć kryterium prawdy. Okazuje się, że redukcja tego rodzaju może być szeroko stosowana. Wspomniano już o skromnej liczbie pojęć wystarczających w logice, a mianowicie o odpowiednikach wyrażeń „jest", „ani nie, ani nie", „każdy", i o zaimkach. Jeszcze bardziej zdumiewający jest fakt, że te pojęcia wystarczają nie tylko logice, ale ogólnie biorąc także matematyce czystej: po prostu matematyka sprowadza się do logiki.
Po nadaniu językowi logiki najbardziej ekonomicznej i schematycznej postaci, możemy, a przynajmniej moglibyśmy następnie żywić nadzieję, że wymyślimy jakiś mechaniczny sprawdzian, który zastosowany jedynie do zapisów zdaniowych pozwoli zawsze odróżnić wśród nich logicznie prawdziwe od nieprawdziwych. Ale trudno w to uwierzyć, w szczególności ze względu na ogólną sprowadzalność matematyki do logiki. Każdy problem matematyczny mógłby wtedy być rozwiązany przy pomocy mechanicznego postępowania — nawet słynny problem Fermata, opierający się od trzech wieków wszelkiemu rozwiązaniu. Ogłaszanie dowodów przestałoby być dla matematyki konieczne; wyniki badań podlegałyby po prostu mechanicznemu sprawdzeniu przez czytelnika.
Skoro jesteśmy nieufni wobec tak śmiałego projektu, możemy podjąć się sformułowania pewnego mniej imponującego formalnego kryterium prawd logicznych i matematycznych: takiego kryterium, którego spełnienie przez S można odkryć raczej przypadkowo niż przy pomocy niezawodnego, mechanicznego sprawdzania. Taki w istocie charakter mają dowody matematyczne; jeśli dowód został raz odkryty, to można go mechanicznie sprawdzić, jednakże samo odkrycie dowodu jest sprawą szczęśliwego przypadku.
Nasz obecny, skromniejszy cel może wobec tego przybrać postać wyraźnej definicji pojęcia dowodu lub tezy, definicji odnoszącej się wyłącznie do zapisów zdań. Jednak współczesny rozwój wskazuje, że wyczerpujące kryterium prawdy logicznej lub matematycznej, idące po powyższej linii, nie jest możliwe. Gdy założymy, że istnieją reguły dowodzenia naprawdę nie prowadzące od prawd do fałszów, to zawsze będą istniały prawdy matematyczne, które nie mogą być udowodnione przy pomocy tych reguł. Zawsze będą istniały pewne prawdy matematyczne, co do których można wykazać, że nie dadzą się udowodnić. Musimy się zadowolić takim określeniem „tezy", które obejmuje tylko taką czy inną doniosłą część zbioru prawd logiki i matematyki.
Pozostaje faktem, że jeśli prawda logiczna lub matematyczna może być w ogóle wykryta, to dotyczące jej reguły da się wyraźnie sformułować jako kryteria odnoszące się do zapisów zdań. Do nieoczywistej prawdy logicznej i matematycznej dochodzi się, jeśli to w ogóle w danym przypadku jest wykonalne, przy pomocy dowodu; rozważania zaś, które mają stanowić dowód, muszą być sformułowane za pomocą terminów dotyczących wzrokowo dostrzegalnych cech zdań. Takie ujęcie jest nie tylko możliwe, ale nawet bardzo pożądane, bo obiecuje lepsze poznanie logiki i matematyki. Samo odkrycie głoszące, że zawsze będą istniały niedowodliwe prawdy matematyczne, nie zostałoby dokonane bez analizy pojęć ,,dowód" lub „teza", operującej wyrażeniami, które mówią wyłącznie o wzrokowo dostrzegalnych cechach zdań.
Przedstawiony rozwój logiki w żadnym przypadku nie wyczerpuje przyczyn współczesnego jej wysubtelnienia. Np. redukcja pojęć logiki i matematyki do minimum nie jest spowodowana wyłącznie wyżej wspomnianym celem, lecz i licznymi innymi przyczynami. W rzeczy samej jest ona celem w sobie, gdyż wykazuje, jak mało potrzeba pojęć do ugruntowania całej matematyki. Co więcej, przez określenie jednych pojęć za pomocą drugich i ostatecznie przez określenie wszystkich pojęć za pomocą nielicznych wybranych, te ostatnie zostają poddane analizie rzucającej na nie wiele światła.
Schematyzacja języka logiki ma także swą doniosłość w dziedzinach bardziej praktycznych. Logika znajduje praktyczne zastosowanie przy wyprowadzaniu konkluzji pozalogicznych z przesłanek również pozalogicznych. Logika jest podstawą takiego wnioskowania wtedy, gdy zdanie warunkowe „jeżeli...to", łączące pozalogiczną przesłankę z takąż konkluzją jest logicznie prawdziwe (podobnie jak wyżej (1)); w ten sposób prawdy logiczne łączą się ze sprawami pozalogicznymi. Dokładnie tak samo przedstawia się rzecz przy stosowaniu matematyki.
Ogólnie biorąc, nadzwyczaj wielka użyteczność matematyki w naukach przyrodniczych zależy po prostu od doniosłego w skutkach poznania prawd matematycznych o formie „jeżeli...to", których składniki są twierdzeniami nauk przyrodniczych. Logika, w odróżnieniu od działów matematyki operujących liczbami, tradycyjnie zajmowała skromne miejsce w naukach przyrodniczych i była stosowana tylko na dość elementarnym poziomie wnioskowania. Odgrywała ona rolę podobną do tej, jaką prawdopodobnie odgrywała arytmetyka w czasie używania cyfr rzymskich. Jeżeli jednak zaprojektujemy logikę według wskazówek nowoczesnej matematyki (zachowując, oczywiście, dogodne skróty oprócz podstawowego słownika logicznego), to otrzymamy narzędzie tak skuteczne, jak arytmetyka i pochodne gałęzie matematyki, a nawet znacznie przewyższające te ostatnie zakresem zastosowań.
Tam, gdzie nie da się użyć liczb, nie stosuje się systematycznie metod matematycznych. W związku z tym rozwój nauk przyrodniczych w znacznym stopniu zależy od poznania takich czy innych wielkości wymiernych. Mierzenie polega na przyporządkowaniu przedmiotowi badań liczb realnych. Takie przyporządkowanie jest pożądane, bowiem po dokonaniu go cała dobrze wypracowana teoria matematyczna liczb stoi do naszej dyspozycji jako narzędzie dalszego rozumowania. Żadna jednak nauka nie może się opierać wyłącznie na mierzeniu i dlatego wiele badań naukowych leży zupełnie poza jego zasięgiem. Logika matematyczna otwiera perspektywy przed tymi badaczami, którzy potrzebują metod nieilościowych. Daje nam ona ścisłe metody operowania najbardziej podstawowymi składnikami mowy. Wolno oczekiwać, że jej wkład do nauki będzie polegał także na wprowadzeniu większej ścisłości i jasności — na sprecyzowaniu pojęć nauki. Takie uściślenie pojęć powinno przyczynić się do wykrycia nieznanych dotąd konsekwencji przyjętych hipotez naukowych i powinno zaradzić ewentualnym subtelnym błędom przeszkadzającym rozwojowi nauki.
Logika matematyczna ma różne zastosowania, lecz najbardziej doniosłe na pewno zostaną dopiero odkryte. Zresztą użyteczności teorii nie można mierzyć jedynie na podstawie zastosowania jej aktualnie wypracowanych metod do określonych już problemów; musimy raczej zgodzić się z tym, że potrzeby praktycznego wdrażania naszych koncepcji powinny wpływać na dalszy rozwój teorii. Historia matematyki w wysokim stopniu polegała na wzajemnym wpływie między teorią a praktyką. Znaczna, część tego, co matematyka obiecuje nauce, ma swoją gwarancję w jej potencjalnych możliwościach jako podstawy konstruowania pomocniczych, nie przewidzianych dotąd metod, zaspokajających określone potrzeby nauki.
Zobacz początek notki: Logika matematyczna a tradycyjna logika formalna (1)
