W poprzedniej notce przypomniałem dwa starogreckie paradoksy: o nauczycielu i uczniu oraz o matce i krokodylu. No dobrze, ale czym właściwie jest paradoks? Oddajmy głos Kazimierzowi Ajdukiewiczowi.
Inny rodzaj żartów na tym znów polega, że się komuś dowodzi, w sposób, który on krok za krokiem aprobuje, takiej tezy, która mu się jawnym wyda fałszem. Takie nadawanie jawnym fałszom pozorów prawdy nazywa się paradoksem. Słuchacz takiego wywodu zostaje wzięty na kawał. Gdzieś musiał popełnić omyłkę, skoro cały dowód aprobował, czyli uznał za poprawny, a na koniec widział się zmuszony aprobować tezę będącą jawnym fałszem. Bawi go ta własna jego słabość, zwłaszcza gdy się połapie, na czym błąd polega i mniej lub więcej świadomie pomyśli, jaką będzie miał uciechę, gdy mu się uda kogo innego tak właśnie złapać, jak sam się złapał.
Są to kawały stare, których autorowie od dwóch przeszło tysięcy lat leżą w grobie, które jednak do dziś nie przestały być interesujące.
Może ktoś z Czytelników pomyślał sobie w czasie czytania: czy już gorszych zmartwień nie ma, jak łamać sobie głowę nad wymysłami jakichś dziwaków, którzy pomarli ze dwa tysiące lat temu ? Pewno, że są gorsze zmartwienia! Ale powiedzcie, czy już nie ma na świecie ważniejszych robót jak gra w tenisa lub trenowanie biegu na 800 metrów. Na pewno są. Tylko, że to tak przyjemnie komuś, komu Bo? dał silne i zdrowe ciało, posportować się trochę. Tak przyjemnie jest pracować nawet ciężko, jeśli nie pod przymusem. Myślę, że i ten, komu Bóg dał jaki taki rozum, znajdzie — o ile chwila jest stosowna — przyjemność w pracy umysłowej, do jakiej tak pikantne rzeczy, jak paradoksy, pobudzają.
Jeden z najstarszych paradoksów Achillesa i żółwia, pochodzi od przedsokratesowego filozofa Zenona z Elei, ucznia Parmenidesa. Miał dowodzić, że ruch nie istnieje, wbrew zwolennikom atomistycznej koncepcji przestrzeni i czasu.
Zenon z Elei; żyjący w V wieku przed Chrystusem, starał się przestrzec sobie współczesnych przed dawaniem wiary świadectwu zmysłów. Wierzycie — powiada ów Zenon — świadectwu własnych uszu, gdy słyszycie hałas przy wysypywaniu worka zbożu na ziemię. Sądzicie, że wysypywane z worka zboże naprawdę sprawia szmer. Ale to być nie może. Bo po pierwsze: jedno ziarnko, spadając na ziemię, szmeru żadnego nie sprawia. A po drugie: jeśli x ziarnek szmeru nie sprawia, to i x + l ziarnek też głosu nie wyda. Gdyby więc rzucić po kolei l, 2, 3 itd. ziarnek zboża na ziemię, to gdyby jakaś ich ilość szmer istotnie sprawiała, to musiałaby wśród nich istnieć najmniejsza ilość ziarnek głos wydająca: niech by to było np. przy stu ziarnkach. W takim razie 99 ziarnek, padając na ziemię, już by szmeru nie sprawiało. Ale to jest niemożliwe, bo gdy x ziarnek padając na ziemię głosu nie wydaje, to i x + l ziarnek głosu wydać nie może. Zatem żadna ilość ziarnek zboża, padając na ziemię, szmeru żadnego nie sprawia. Nie wierzcie więc własnym uszom. Podobnie można by też podkopać naszą wiarę w świadectwo dotyku, w świadectwo wzroku itd.
Powyższy dowód Zenona nie należy do jego najsławniejszych wyczynów. Zenon z Elei dla innych swych paradoksów zyskał miejsce w dziejach myśli ludzkiej. Ów Zenon należał do głośnej greckiej szkoły filozoficznej, zwanej od miasta Elea w południowych Włoszech, w którym żyli i działali jej najwybitniejsi przedstawiciele, szkołą eleacką. Otóż owi eleaci głosili, że jest tylko jedna rzecz na świecie, nieruchoma i niezmienna. Dla dowiedzenia nieruchomości tego co jest wymuślił Zenon z Elei dowody, które mają wykazywać niemożliwość ruchu. Tym paradoksalnym dowodom zawdzięcza Zenon to, że po dziś dzień imię jego jest znane.
Powiada tedy Zenon, że nic na świecie się nie porusza. Nawet strzała wypuszczona z łuku pozornie tylko leci, naprawdę jest w spoczynku. Bo cóż to znaczy, że jakieś ciało przez pewien okres czasu jest w spoczynku. Nie znaczy to nic innego jak tylko to, że ciało to w każdej chwili z tego okresu czau znajduje się w pewnym określonym miejscu. Ale wszakże i strzała wypuszczona z łuku w każdej chwili swego pozornego ruchu w pewnym oznaczonym miejscu się znajduje, a zatem spoczywa, a nie porusza się.
Gdyby ktoś powyższym dowodem nie czuł się przekonany o niemożliwości ruchu, to Zenon ma w pogotowiu inne jeszcze argumenty. Powiada tedy Zenon: każdy się zapewne zgodzi na to, że suma nieskończenie wielu liczb, z których każda jest różna od 0, musi być liczbą nieskończenie wielką. Zatem i suma nieskończenie wielu odstępów czasu, z których każdy ma trwanie większe od 0, będzie okresem czasu nieskończenie długim. Skoro Zenon uzyska zgodę nz tę przesłankę, nietrudno przyjdzie mu dowieść, że żadne ciało nie może się z miejsca poruszyć. Gdyby bowiem mogło choćby o centymetr oddalić się od swego pierwotnego położenia, to musiałby wpierw upłynąć jakiś okres czasu potrzebny dla przebycia pierwszej połowy tej drogi, potem jakiś okres czasu na przebycie połowy pozostałej połowy drogi, dalej znowu jakiś okres przebycia połowy pozostałej ćwierci itd. w nieskończoność. Zatem na czas potrzebny do tego, aby jakieś ciało przebyło drogę l cm, złożyć by się musiał nieskończony szereg odstępów czasu, z których każdy miałby trwanie większe od 0. Czas zaś złożony z nieskończonej ilości czasów, z których każdy ma jakieś trwanie różne od 0 , jest czasem nieskończenie długim. Zatem czas nieskończenie długi musiałby upłynąć, zanimby ciało przesunęło się choć o 1 centymetr od swego pierwotnego położenia. Powiedzieć zaś, że coś nastąpi po nieskończenie długim czasie, to tyle co powiedzieć, że to nigdy nie nastąpi. Nigdy więc nie nastąpi taki moment, w którym jakieś ciało zmieni swe położenie, nigdy ruchu nie będzie.
Achilles nie doścignie żółwia. A jednak w praktyce Achilles zwycięża w biegu z żółwiem, choć żółw dostanie fory.
Kazimierz Ajdukiewicz Paradoksy Starożytnych, "Filomata" 1931, nr 35, 36
Cytaty za: Język i Poznanie, Tom 1, PWN 1985
