Gąbka Mengera to jeden z ciekawszych fraktali. Ciekawy, bo trójwymiarowy, no i jakiś miły dla oka. Czasami nazywa się to gąbką Sierpińskiego, choć to Menger a nie Sierpiński tę trójwymiarową gąbkę wymyślił i nad jej własnościami dumał. Nasza polska Wikipedia poświęca temu fraktalowi swoją stronę Kostka Mengera. Proces tworzenia tego zbioru jest tam dość dokładnie opisany. Ja zilustruję go po swojemu, na zielono, bo zielony kolor jest przyjemny dla oka.
Punktem wyjściowym jest kostka:
Kroimy ją w myśli na dwadzieścia siedem małych kostek i wycinamy środki ścian (6) a także sam środek kostki. Zostaje 20 małych kostek:
Z każdą z nich czynimy to samo:
Mamy teraz 20x20=400 jeszcze mniejszych kostek. Z każdą z nich czynimy jak wyżej:
Mamy już 20x20x20=8000 maleńkich kostek.
Z każdą z nich czynimy to samo:
Mamy już 20x20x20x20=160000 malusieńkich kostek.
I tak dalej. Do końca, tyle, że tego końca nie widać. Tak czy siak, to co zostanie, to znaczy każdy punkt, który nie jest wycinany przy którymś tam kroku, tworzy ostateczny twór: Gąbkę (czy Kostkę) Mengera. Wiki podaje nawet algorytm – pseudo-kod tego procesu:
Menger(n,x,y,z,d): jeżeli n=0 to utwórzSześcian(x,y,z,d) w przeciwnym przypadku dla i={-1,0,1} dla j={-1,0,1} dla k={-1,0,1} jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0 to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)
Dowiadujemy się też, że to co zostaje jest „zwartym podzbiorem przestrzeni Euklidesowej” o miarze Lebesgue'a równej zeru. Innymi słowy: Kostka ma „objętość” zero, zatem nic nie waży. Choćby ta wyjściowa była z ołowiu. Waga wszystkich wyciętych kawałków jest równa wadze pierwotnej kostki. (no, pomijajc opiłki powstające przy wycinaniu!)
Mamy też nierekurencyjną definicję:
Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów (x,y,z) takich, że 0 ≤ x,y,z ≤ 1 i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych x,y,z w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.
Pojawia się termin „domknięcie” - co oznacza, że do otrzymanego tak zbioru dołączamy granice wszystkich zbieżnych ciągów elementów tego zbioru. Ale nawet bez domykania widać, że punktów niewyciętych jest „wiele”.
Nie ma tu żadnego losowania, nie ma żadnych „iterowanych transformacji”. Jest dobrze zdefiniowany deterministyczny proces wycinania. I powstaje fraktal. Ma dobrze określony „wymiar fraktalny” - ni to dwa, ni to trzy:
log320 = ln 20 / ln 3 ≈ 2,726833.
Jest to zatem obiekt (ta pozostałość) „prawie trójwymiarowy”.
W kolejnej notce zobaczymy jak tę kostkę można jednak zbudować przy pomocy iterowanych przekształceń – jednak dalej beż żadnych losowań. W procesie czysto deterministycznym, gdzie wykorzystywane jest twierdzenie Banacha o punkcie stałym, zapewniające istnienie i jedyność obiektu końcowego.
Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki.
Katalog SEO Katalog Stron
map counter
Życie jest religią.
Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem.
Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone.
Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić.
Dla tych ludzi świat zgaśnie.
Staną się dokładnie tym co dali życiu.
Staną się jedynie snem w "przeszłości".
Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości"
Lista wszystkich wpisów
Nowości od blogera
Inne tematy w dziale Technologie
