Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
185 obserwujących
1418 notek
3393k odsłony
971 odsłon

Co to są wektory - dobrze umieć zapomnieć

Wykop Skomentuj92

W moich notkach wielokrotnie powtarzam jak mantrę, że : „Wiedza nas chroni, ignoracja naraża na niebezpieczeństwa.” Oczywiście zawsze znajdą się tacy, którzy zaprotestują. Powiedzą: nie zawsze jest dobrze wiedzieć. Podadzą przykład jak to jeden taki za dużo wiedział i się przez to doigrał. Ja jednak na to, że wiedział za mało, bowiem nie wiedział, że swą wiedzą trzeba się dzielić mądrze, a nie chwalić się nią i paplać na lewo i na prawo bez umiaru.

Wspomniałem w poprzedniej notce, że ostatnio przyjeżdża do mnie na konsultacje  w sprawach samo-dualności i algebry geometrycznej pewien inżynier,  specjalista od kryptografii. By wytłumaczyć czym jest algebra geometryczna i wielowektory, muszę mu najpierw wytłumaczyć co to są wektory. No i tu powstał problem, bowiem on już się przedtem nauczył co to są wektory. Dla niego wektor to trójka liczb, zapisanych poziomo jako (x1,x2,x3), lub pionowo, jako kolumienka trzech liczb. Z takim rozumieniem wektora nigdy mu nie będę w stanie wytłumaczyć co to jest algebra geometryczna, algebra Grassmanna czy algebra Clifforda. Najpierw musi zapomnieć to czego się nauczył. Okazuje się jednak, że zapomnieć nie jest łatwo.  

Wiem , że czytają mnie także licealiści. Próbuję więc pisać tak, by i oni mogli coś z tej mojej pisaniny skorzystać. Oni też muszą najpierw zapomnieć co to jest wektor. Odtąd wektor to jest element przestrzeni liniowej (nazywanej również przestrzenią wektorową). A co to jest przestrzeń liniowa? To jest to co jest zdefiniowane poniżej w ośmiu aksjomatach. I nic więcej.

Aksjomaty przestrzeni wektorej można znaleźć w dobrych podręcznikach algebry liniowej. Ja wziąłem te aksjomaty (przytaczając niemal dosłownie) z wykładów prof. Ryszarda Andruszkiewicza z algebry liniowej dla kierunków Informatyka i Ekonometria.

Z fotki na researchgate.com ławo widzimy, że zajmowanie się algnerą liniową daje duże zadowolenie.
image


Definicje poniżej zapożyczyłem z wykładu 5: Określenie przestrzeni liniowej.

Trochę przy tym pozmieniałem, by mi się bardziej spodobało, ale minimalnie. Oto zatem definicja. A pod definicją zadania do rozwiązania. Zadania te mają na celu sprawdzenie, czy dobrze zapomnieliśmy to co poprzednio o wektorach wiedzieliśmy.
W następnych notkach zajmę się natiomiast tym co z wektorami, tymi zapomnianymi i na nowo wyuczonymi, można robić.

image

image

image

image


Uwaga: Odwrócone A   należy czytać "dla każdego", "dla każdych". Odwrócone E należy czytać "istnieje". Odwrócone E z wykrzyknikiem czytamy "istnieje dokładnie jeden/jedna"


A oto zadania (wzięte z książki Hlamos, Finite Dimensional Vector spaces, Springer 1993) do sprawdzenia czy dobrze zapomnieliśmy co to jest wektor?


Udowodnij, że jeśli x i y są wektorami, i jeśli   α jest skalarem, zachodzą następujące relacje:

1. 0+x = x
2. -0=0.
3. α 0=0.
4. 0 x=0.
5. Jeśli     α x = 0 to      α=0 lub x=0.
6. -x=(-1)x.
7. y+(x-y)=x gdzie x-y oznacza x+(-y)

P.S. W dyskusji pod notką pojawiła się kwestia niezależności przytoczonego w notce zbioru ośmiu aksjomatów. Poniżej przytaczam fragment z artykułu J. F. Rigby and James Wiegold , "Independent Axioms for Vector Spaces ",    The Mathematical Gazette, Vol. 57, No. 399 (Feb., 1973), pp. 56-62, gdzie układ aksjomatów jest zredukowany do sześciu

image


Wykop Skomentuj92
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie