Mam ostatnio obsesję z równoległością na odległość. Nie ja jeden. Einstein miał tę obsesję przez kilka lat. Potem mu przeszło. A u mnie ledwie się dopiero zaczęła. W domu mnie z tym akceptują, do psychiatry nie wysyłają. Moja inna obsesja to miauczenie, ale miauczenie u nas w domu się przyjęło. Na dzień dobry miauczymy do siebie nawzajem i jest to dobre. Czasem miauknę nawet w laboratorium przy pobieraniu krwi – i jakoś mi to uchodzi.
Wracając jednak do równoleglości, równoległe co do czego i dlaczego? Równoległe bywają proste, kierunki, wektory. Ta równoległość Einsteina-Cartana dotyczy wektorów. Ale co to są te wektory? Einstein musiał się nauczyć nieco geometrii różniczkowej, musiał się nauczyć co to takiego ta „differenzierbaren Mannigfaltigkeit” - „rozmaitość różniczkowa”? „Differential manifold” po angielsku, „Variété différentielle” po francusku. A potem jeszcze wektor styczny do takowej w danym punkcie. Einstein nauczył się tego sto lat temu. A dziś, sto lat później, ludzie kończą studia i dalej tego nie wiedzą. I jak tu popularyzować naukę gdy podstawowe pojęcie fizyki teoretycznej straszą swoją egzotyką? Jesteśmy skazani na opowieści Micho Kaku o Hiperprzestrzeni, gdzie owszem, jest dowód istnienia Boga, ale nie ma słowa „rozmaitość” czy choćby „wektor”.
Więc co to jest ten wektor, a konkretniej: wektor styczny? Jakoś się zbieram do wyjaśnienia tego od dłuższego czasu, ale mi nie wychodzi. Zbierałem się by wyjaśnić dziś, ale tez mi nie wyszło. Wyjaśnię teraz dlaczego.
Po co mi ta „równoległóść na odległość”? Otóż wciąż mam do napisania artykuł, który anonsowałem na konferencji algebr Clifforda jeszcze w sierpniu. Równoległość na odległość mi tam jest bardzo potrzebna. Podstawą są wektory. A z tego budujemy dwu-wektory, trójwektory itd. Tak powstaje algebra Grassmanna, a jak się doda do tego iloczyn skalarny, czyli kąty i długości, to powstaje dodatkowo „iloczyn geometryczny” - algebra Clifforda. Nazywana czasem także „algebrą geometryczną”, „Geometric Algebra” (G.A).
Ostanio zgłosił się do mnie bardzo miły człowiek z prośbą o konsultacje w tej właśnie sprawie. Naprawdę miły, bowiem najpierw napisał kilka miłych listów do Laury, no a Laura poruszona jego miłymi słowami, poprosiła mnie czy bym mu nie pomógł. Zgodziłem się i teraz co tydzień będę miał wizytę na godzinne konsultacje w sprawie „G.A.” Mój „uczeń” jest niezwykle miły i niezwykle inteligentny (kto ciekaw, może zajrzeć tutaj: https://www.ladepeche.fr/article/2009/12/28/744848-auvillar-alain-cagnati-reste-un-auvillarais-de-coeur.html). Przejął się bardzo książką G.A.: Maths Physique pour demain (Algèbre Géométrique), G.A.: Maths Physique pour demain (Algèbre Géométrique).
Książka napisana przez pasjonata algebry geometrycznej. Autor, Francuz, ubolewa nad tym, że w języku francuskim nie ma o algebrze geometrycznej niemal nic. W zakończeniu książki mamy najpierw znaną i często cytowaną wypowiedź Maxa Plancka:
„Nowa naukowa prawda nie triumfuje poprzez przekonywanie jej oponentów i sprawianie by zobaczyli światło, ale bardziej ponieważ jej oponenci w końcu umierają, a wyrasta nowe pokolenie, które jest z nią zapoznane.”
A zaraz potem następuje zdanie o tym, jak to algebra geometryczna musi czekać na to aż jej oponenci wymrą. Przytoczę tu zabawne tłumaczenie automatyczne tego zdania z francuskiego na polski
On doit donc s’attendre à une forte résistance à GA. Sans doute pas au point de l’étouffer, mais peut-être assez pour retarder de plusieurs décennies sa généralisation. Et naturellement certains pays évolueront plus vite que d’autres, et en tireront avantage.
Pagis, Georges. G.A.: Maths Physique pour demain (Algèbre Géométrique) (French Edition) (p. 214). Georges Pagis. Kindle Edition.
W związku z tym należy oczekiwać wysokiej odporności na GA. Prawdopodobnie nie do tego stopnia, by go udusić, ale być może na tyle, by opóźnić jego powszechne stosowanie o kilkadziesiąt lat. I oczywiście niektóre kraje będą rozwijać się szybciej niż inne, i czerpać z tego korzyści.
Pagis, George. G.A.: Fizyka matematyczna na jutro (Algebra Geometryczna) (wydanie francuskie) (s. 214). Georges Pagis. Kindle Edition.
Przetłumaczono z www.DeepL.com/Translator (wersja darmowa)
No dobrze, więc co to jest ten wektor styczny? Bodaj najlepszą ilustracją jest ten filmik:
Wiązka kamieni wypuszczona w odpowiednim momencie leci po stycznej do okręgu po którym kamienie utrzymywane na sznurku się poruszają. Jest to ilustracja wektora stycznego do krzywej.
W G.A. Mamy całą hierarchę wielowektorów.
W dwóch wymiarach mamy
przestrzeń skalarów (1 wymiarowa)
przestrzeń wektorów (2 wymiarowa)
przestrzeń dwuwektorów – pseudoskalarów (1 wymiarowa)
W trzech wymiarach mamy
przestrzeń skalarów (1 wymiarowa)
przestrzeń wektorów (3 wymiarowa)
przestrzeń dwuwektorów – (3 wymiarowa)
przestrzeń trójwektorów – pseudoskalarów (1 wymiarowa)
W czterech wymiarach mamy
przestrzeń skalarów (1 wymiarowa)
przestrzeń wektorów (4 wymiarowa)
przestrzeń dwuwektorów – (6 wymiarowa)
przestrzeń trójwektorów (4 wymiarowa)
Przestrzeń czterowektorów – pseudoskalarów (1 wymiarowa)
I tak dalej. Wymiary przestrzeni multiwektorów można odczytać z trójkąta Pascala
W algebrze geometrycznej wielowektory można mnożyć na dwa sposoby, albo „zewnętrznie”, mamy wtedy mnożenie Grassmanna, albo, jeśli mamy „metrykę”, możemy mnożyć „wewnętrznie”, lub „gometrycznie”. Mamy wtedy algebrę Clifforda. Do mnożenia geometrycznego potrzebna jest „metryka”. A co to jest ta „metryka”. Fizycznie metryka koduje w sobie pewien rodzaj „przenikalności” przestrzeni (czy „eteru”, jeśli ktoś to lubi). Einstein widział był to trochę inaczej, ale Einstein co pewien czas zmieniał dość mocno niektóre swe poglądy. Więc się tym nie przejmujmy.
A wektory styczne? Najlepiej je wprowdzić jako „różniczkowania algebry funkcji”. Ale to już przyszłym razem.
