Byłem wtedy świeżo upieczonym, tuż po dyplomie magisterskim, fizykiem matematycznym, a już dostałem prowadzenie wykładu dla przyszłych nauczycieli matematyki, Takie to były czasy. Wykładałem podstawy geometrii na podstawie monografii „FOUNDATIONS OF GEOMETRY „ Karola Borsuka i Wandy Szmielew (sic!). W swoim osobistym dzienniku pisałem (zachowuję oryginalną interpunkcję i układ):
Ruszę jak huragan jak burza
Moim hobby jest szybkość
Ruszę w grzmocie potężnym
zamyślenia.
Oto już. Oto ruszam. Z rosnącym przyśpieszeniem
Ruszyłem p ę d z ę na wprost
oszalały świat
Oto ja mały i niepozorny naprzeciw
świata oszalałego. Oto ja pędzę na wprost
poprzez drobiny materii
przebijam się bez strat
Energię zbieram z dokoła
z rzeczywistości z nicości
z takiej i takiej z wszelakiej
ja – Wielki ja – Potężny
ja – energia szybkości
jeden nad pierwiastek kwadratowy
z jedności mniej v kwadrat nad c kwadratowy
asymptotycznie dążę do nieskończoności
po spiralnym łuku paraboli
prędzej niż zwija się Wszechświat
dochodzę wreszcie do krańca
i wylatuje po stycznej
w Nicość.
Lecz sam nie jestem nicością
sam – jestem Wszechświatem
Zakrzywia mój tor potężna siła
Której opiera się ma energia
Energia ważka i bezwładna
jestem kwantem Wszechświata
ja jestem. Ja – grafoman. Ja – oszust. Ja -wspaniałe zero
ja – wspaniałe wszechpotężne nic
które oto z wyroków swoich własnych stałem się
przedłużeniem Wszechświata.
I ciągnę go za sobą
posłuszny
Ja wiem. To tylko posłuszeństwo. Lecz chyba
największe z dostępnych Istocie Ludzkiej.
A zresztą:
posłuszeństwo jest relacją zwrotną
Więc nie nad czym rozpaczać.
A teraz?
Teraz ruszyłem właśnie. Przede mną nieskończone
zwoje spirali.
Czekają na mnie.
Ja ja.
Mamy więc słowa kluczowe: szybkość, przyśpieszenie, krzywizna, styczna, parabola. O tym wszystkim, zachęcony przez Einego (choć nie tylko z tego powodu) będę pisał. Dziś będzie o styczności. Jutro o głębszej styczności – o całowaniu się: o tym, jak okrąg całuje się z parabolą.
Przyniosła dziś poczta dwie nowe książki. Pierwsza to „Luba Gurdjieff. A memoir with Recipes”
No, recepty w moich notkach będą: recepty jak wyliczać krzywiznę.
Druga, bardziej odpowiadająca interesującej nas tu tematyce książeczka to „Faust w Kopenhadze. Walka o duszę fizyki”:
Widzimy tu na obrazku różnego rodzaju krzywe, tory pozostawione w emulsji fotograficznej przez cząstki elementarne. Czy te krzywe istnieją naprawdę, są jakoś zakodowane w tkaninie z której zrobiony jest wszechświat? Czy może są tylko wytworem chorej wyobraźni matematyków?
Och, pytania, pytania, niekończące się pytania.
Wikipedia uprzejmie informuje:
„Prosta styczna s do krzywej K w punkcie P jest to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych sk przechodzących przez punkty P i Pk gdy punkt Pk dąży (zbliża się) do punktu P po krzywej K (zob. Rysunek).”
Do danej krzywej, w danym punkcie, jest tylko jedna no styczna. No, chyba, że krzywa jest dzika, jak ta epicykloida:
W punkcie gdzie krzywa przecina się z samą sobą, nie wiadomo, która prosta jest styczna, ta czerwona czy ta niebieska, czy może obie (mój rysunek stycznych jest niedokładny, odręczny, naciągany). W porządnym towarzystwie o dzikich krzywych się nie rozmawia. I my rozmawiać o nich nie będziemy.
Jeśli krzywa na płaszczyźnie zadana jest równaniami parametrycznymi:
(x(t), y(t))
jak na przykład okrąg
x(t) = cos(t),
y(t) = sin(t)
lub, powiedzmy, parabola
x(t) = (t2 + 1)/2
y(t) = t
Wtedy styczna do krzywej w punkcie (x(t),y(t)) ma kierunek wektora o składowych (dx(t)/dt, dy(t)/dt). No fakt, trzeba umieć różniczkować, ale kto w dwudziestym pierwszym wieku różniczkować nie umie, skoro nawet starożytni (jak np. Newton; nie wiem jak to było z Sumerami) to znali?
Oto dwie styczne do okręgu – w dwóch różnych punktach:
A oto trzy styczne do naszej paraboli – w trzech różnych punktach.
Zastanawiano się kiedyś podobno nad tym ile aniołów zmieści się na główce od szpilki. Zadajmy sobie podobne pytanie: no, dobrze, przez dany punkt okręgu przechodzi tylko jedna prosta styczna do tęgo okręgu. A co, jeśli odwrócimy pytanie: przez dany punkt prostej ile okregów stycznych do tej prostej przez ten punkt przechodzi? O tej scholastyce wszak następnym razem.
