Z macierzą symetryczną
[A B]
[B C]
związaliśmy krzywą opisywaną równaniem
Ax2 + 2Bxy + Cy2 = 1.
Co to za krzywa? Kiedy jest elipsą? Jaką elipsą? Dobrze zobaczyć to na przykładzie. Oto animacja, gdzie wziąłem macierze postaci:
[8 k]
[k 2]
tzn. A = 8, B = k, C = 2,
gdzie k przebiega po kolei 21 różnych wartości, co ¼:
k = 0, 0.25, 0.5, 0.75,...,5.
Widzimy jak elipsa się wydłuża, wyciąga, przechodzi w parę prostych równoległych, które następnie wyginają się w hiperbolę:
A oto te wszystkie obrazki z animacji naraz:
Pojawia się pytanie: kiedy to elipsa przestaje być elipsą? Otóż staje się tak wtedy, gdy wyznacznik naszej macierzy staje się równy zeru. Wyznacznik naszej macierzy to AC-B2. Ponieważ w naszym przykładzie iloczyn AC = 16, staje się tak dla k = 4 – na siedemnastym z naszych 21 obrazków składających się na animację. Wtedy to mamy po prostu dwie proste równoległe. Przedtem wyznacznik jest dodatni. Potem wyznacznik jest ujemny. Gdy wyznacznik AC-B2 jest dodatni – mamy elipsę. Gdy jest ujemny – mamy hiperbolę (ta składa się z dwóch rozłącznych gałęzi). Gdy wyznacznik jest równy zeru – mamy pare prostych równoległych.
Uwaga: W ogólności na to by mieć elipsę nie wystarczy aby wyznacznik był dodatni. Musi także ślad macierzy: A+C być dodatni. W naszym przypadku ślad wynosi 8+2 = 10, więc warunek śladu jest spełniony.
Komentarze
Pokaż komentarze (6)