Pytanie „dlaczego fika?” jest trochę w stylu „Kiedy przestaniesz bić swoją żonę”. Trudne na takie pytanie odpowiedzieć wprost. Odpowiedź trzeba zacząć od „Ale ...”. W naszym przypadku będzie to: „Ale co to w ogóle znaczy, że coś fika?” Co dokładnie chcemy przez to powiedzieć? I tui, jak to często bywa, okazuje się, że diabeł ukrywa się w detalach.
Zajmujemy się ciałem sztywnym o trzech różnych głównych momentach bezwładności. Może to być pierwszy z brzegu kamień. No, ale kamień jest chropowaty, nierówny, niesymetryczny. Dobry dla geologa, ale fizyk teoretyk z komputerem woli coś łatwiejszego do malowania w różnych pozycjach na ekranie. Można by wybrać kamień szlachetny, wygładzony na kształt elipsoidy. Ta ma równanie
i tak jakoś wygląda
Można też wybrać mój uproszczony model gajki,
gajka
z sześciu mas zbudowany, jak ten:
Ten ostatni polubiłem, tylko nie jestem pewien czy dla symulowania momentów bezwładności lepiej brać takie same masy lecz różnej długości ramiona, czy może równej długości ramiona a na ich końcach różne masy. Wkład do momentu bezwładności jest proporcjonalny do wielkości masy i do kwadratu długości ramienia.
Przypomnijmy scenariusz: akcja rozgrywa się w laboratorium, które jest układem inercjalnym, w tym laboratorium mamy kartezjański układ współrzędnych – trzy sztywne, przymocowane do ścian, osie, a środek masy naszej gajki spoczywa w środku układu współrzędnych. Nie działają żadne siły zewnętrzne. Nasza gajka zatem jakoś tam się obraca – zgodnie z zasadami dynamiki. Skąd ona te zasady dynamiki zna, gdzie się ich wyuczyła? Czemu się ich słucha? To temat na inną serię notek. Skoro jednak się słucha, to czy chce czy nie chce spełnia równania Eulera. Ma przywiązane do siebie swoje własne osie, wzdłuż linii symetrii elipsoidy momentu bezwładności, w tych osiach ma wektor chwilowej prędkości kątowej Ω =(Ω1 ,Ω2 ,Ω3 ), ten wektor na ogół zmienia się z czasem, a zmiana w czasie winna spełniać równania Eulera:
Gdy równania są spełnione – mamy do czynienia z jednym z możliwych zachowań. A jakie są możliwe? Jak je znaleźć? Które fikają? Które nie fikają? A jak nie fika, to co zrobić, żeby fikało? A jak fika, to co zrobić, żeby fikać przestało? No i: kiedy właściwie fika? Po czy fikanie się poznaje? Grypę to wiadomo po czym rozpoznać
Ale po czym rozpoznać fikanie?
Pytania, pytania. Pytań wiele, cisną się równolegle, a my tu odpowiadać musimy szeregowo. Gdy przyjdą wreszcie kwantowe komputery , będę mógł na wszystkie pytania odpowiedzieć naraz, równolegle. Póki co jednak muszę po kolei. No, czasem poza kolejką.
Zatem, po kolei: jakie zachowania są możliwe? Trzeba spełnić równania Eulera. Gapimy się na te równania, widzimy, że omegi są po lewej i po prawej. No to jak wszystkie omegi są cały czas równe zeru, wtedy lewa strona jest równa zeru, bo pochodna funkcji stałej jest równa zeru, i prawa strona jest równe zeru, bo omegi są zerami. Mamy rozwiązanie. Mamy możliwe zachowanie. A jak to przetłumaczyć na ludzkie? Siedząc na gajce niczego nie zauważamy, żadna odśrodkowe siły na nas nie działają. A siedząc na krześle w laboratorium? Fika gajka czy nie fika?
By serio na to pytanie odpowiedzieć nie ma innej rady jak przyjrzeć się drugiemu ważnemu równaniu, bo równania Eulera to tylko połowa rozwiązania problemu. To drugie równanie to definicja prędkości kątowej, czasem nazywane też (w odpowiednim przebraniu) równaniem Arnolda. (Arnold – rosyjski matematyk). Pisałem o tym w notce Stając na ramionach olbrzymów. Napiszę jeszcze raz, przystosowując się do oznaczeń używanych w obecnej notce.
Oznaczamy przez Q macierz wiążącą współrzędne r' punktu ciała w układzie związanym z ciałem, ze współrzędnymi r(t) tegoż punktu w układzie laboratoryjnym:
r(t) = Q(t) r'
Wtedy Q(t) spełnia równanie
dQ(t)/dt = Q(t) W( Ω(t) ),
gdzie W( Ω(t)) jest macierzą 3x3
W( Ω(t)) =
0, –Ω3(t), Ω2(t)
Ω3(t), 0, –Ω1(t),
-Ω2(t), Ω1(t), 0.
Wygląda to skomplikowanie. Jednak w przypadku właśnie rozważanym wszystkie omegi są zerami. Zatem i W jest macierzą zerową. Zatem dQ(t)/dt = 0, i to dla wszystkich t. Zatem Q jest macierzą stałą. Zatem nasze ciało jest obrócone względem laboratorium i tak obrócone trwa. Nic się nie rusza. Nic nie fika. Nic się nawet nie obraca. Możliwe? Fizyka nam mówi, że możliwe. Ha! No to spróbujcie wejść na pokład kosmicznego laboratorium i ustawić tam w środku gajkę (czy książkę) tak, by się w ogóle nie ruszała! Praktycznie niemożliwe. Jednak nie zdziwimy się specjalnie, gdy się dowiemy, że teoretycznie jest to możliwe.
Mamy więc z głowy jedne przypadek gajki niesymetrycznej. Obrócona może być dowolnie i się w ogóle nie kręci. Jej kręt jest równy zeru, jej energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa zeru. Równania są spełnione i to w banalny wręcz sposób. Nie trzeba nic rachować. Taki świat, statyczny, jest jednak niezbyt ciekawy. Zatem w następnej notce poszukamy innych możliwych zachowań, gdy się gajka jednak kręci. Zauważmy, że równania fizyki nie mówią gajce co ona ma robić. Mówią jedynie w jakich ramach ma się jej zachowanie odbywać. Kto zatem zadaje warunki początkowe? W laboratorium będzie to robił eksperymentator. A we Wszechświecie? Tu są dwie gotowe odpowiedzi: a) Bóg, b) Przypadek.
Ale to już jest temat wykraczający poza fikanki co się nimi aktualnie zajmujemy.
