Ale nie o tym ta notka. Ta notka to przecież ma być o procesie Poissona. Poisson to, wiadomo, ryba. Ryby bywają śliskie. No i proces Poissona tez jest śliski. Zacząłem o nim pisać, zaciąłem się. Wyślizguje mi się z rąk. Nie dam się jednak. Uczę się od początku.
W poprzedniej notce, Kolejka do Poissona, zacząłem opisywać proces Poissona aksjomatycznie, biorąc za podstawę wykład Prof. D. Joyce'a, Department of Mathematics and Computer Science, Clark University, p.t. „The Poisson process Math 217 Probability and Statistics”. Poprzednia notka kończyła się tak:
Są trzy aksjomaty
Aksjomat 1) Ilości zdarzeń zachodzących w dwóch rozłącznych przedziałach czasowych są niezależne.
Aksjomat 2) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w przedziale czasowym [a,a+h] o małej długości h jest w przybliżeniu proporcjonalne do h, ze współczynnikiem proporcjonalności λ . Dokładniej:
lim h→ 0 P(zdarzenia w [a,a+h])/h = λ
Aksjomat 3) Prawdopodobieństwo tego, że w małym przedziale czasu [t,t+h] zajdą dwa zdarzenia jest znacznie mniejsze od prawdopodobienśtwa, że zajdzie tam jedno zdarzenie. Dokładniej:
lim h→ 0 P(dwa lub więcej zdarzeń w [a,a+h])/P(jedno zdarzenie w [a,a+h]) = 0
W następnej notce pójdziemy śladami Poissona (prof. Joyce'a) wyciągając wnioski z powyższych aksjomatów. Tym samym stanie się jaśniejszy ich sens.
No i już tu się zaciąłem. Jakoś było to dla mnie za mało ścisłe. W końcu mówimy o matematyce, zatem możemy rozmawiać w sposób ścisły, nieprawdaż? A tu tymczasem rozmawia się o jakichś „zdarzeniach”. A co to takiego to „zdarzenie”? Gdzie mieszka? Co je? Wykład tego nie wyjaśnia. Sprawdzam więc jaki podręcznik zaleca prof. Joyce do swego wykładu? W podręczniku zapewne będzie zrobione może mniej „opisowo”, ale za to bardziej ściśle.
Prof. Joyce poleca podręcznik „A First Course in Probability” Sheldona M. Rossa. Podręcznik wyczaiłem w internecie, zaglądam, i w samej rzeczy jest lepiej. Ross zaczyna od tego, że mamy proces losowy N(t) – to liczba zdarzeń zachodzących w przedziale N(t). Proces Poissona to jest „kolekcja zmiennych losowych” N(t), dla t>=0. To już jest lepiej. Zaczynam sobie powoli coś przypominać. Nie jestem pewien czy dobrze. Zapewne to N(t) okaże się procesem Poissona …. A co to jet N(t)? To rodzina zmiennych losowych. Dla każdego nieujemnego t mamy zmienną losową N(t). Czemu nieujemnego? A nie mogłoby być po prostu: dla każdego? Tego nie wiem. Przypuśćmy. Kiedyś tam zaczynamy naszą obserwację. Chwilę początkową umawiamy się oznaczać przez t=0. Czyli, że musiał być początek? Ciekawe, ciekawe …. No więc N(10) to zmienna losowa. Co to znaczy? Przypominam sobie z teorii prawdopodobieństwa Żeby móc mówić o zmiennych losowych musi być jakaś „przestrzeń zdarzeń elementarnych” Ω. Same „zdarzenia elementarne” oznaczane są zwykle małymi ω. Na tym Ω mamy „prawdopodobieńswtwo” P. Podzbiory A zbioru Ω nazywamy „zdarzeniami”. P(A) to „prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A”. Jednak w definicji procesu Poissona, gdy mówimy, że N(t) to ilość zdarzeń, które zaszły w czasie od 0 do t, to mówimy o jakiś innych „zdarzeniach”. Dobrze jest mieć na uwadze jakiś przykład. Znajduję, że przykładem procesu Poissona są gole strzelone w czasie meczu piłki nożnej: Soccer: is scoring goals a predictable Poissonian process? Ale nie. Jednak nie jest to taki jednoznaczne. Są komplikacje z niezależnością. Więc może lepiej inny przykład dawany często w literaturze: N(t) to ilość błędów w pakietach przesyłanych w danej sieci komputerowej. Zamiast więc mówić, że N(t) to ilość „zdarzeń”, może lepiej mówić o liczbie „sygnałów”?. Też niedobrze. Ważne jest to, że N(t) może przyjmować jedynie wartości całkowite 0,1,2,...
Na przykład N(10) jest nieokreślone. Mówimy, że to zmienna losowa. Gdy zaczynamy liczyć w poniedziałek rano, to o godzinie 10-tej będzie 70 błędów, ale gdy zaczniemy liczyć w środę rano, o godzinie 10-tej będzie 30 błędów. Średnio wypada, powiedzmy 5 błędów na godzinę. To jedno jest pewne.
Matematycznie: Tak naprawdę mamy funkcję N(t, ω). Przy ustalonym t jest to funkcja od ω. Przy ustalonym ω jest to funkcja od t. Mówimy, że jest to jedna z możliwych trajektorii (historii) procesu losowego. Gdy robię symulację komputerową, produkuję właśnie taką jedną trajektorię. Mam przy tym nadzieję, że jest to trajektoria „typowa”. Choć co to znaczy „typowa”, w ścisłym tego sensie słowa, matematycznie - tego nie wiem, choć bardzo chciałbym wiedzieć.
No i znów nie posunąłem się do przodu. Zaczynasz się Czytelniku niecierpliwić? W następnej notce …. Jak przyjdzie kolej ...
Komentarze