Ogólnie mówiąc rozmaitość różniczkowa (gładka ) stanowi uogólnienie pojęcia
trójwymiarowej płaskiej, przestrzeni Euklidesa na dowolny wymiar n i dowolny
dopuszczalny układ współrzędnych.
Teoria rozmaitości różniczkowych jest bardzo rozbudowaną gałęzią współczesnej
matematyki, a jej najważniejszą część stanowi teoria rozmaitości Riemanna.
Pojęcie rozmaitości stanowi również naturalną podstawę do dalszych uogólnień np.
w postaci teorii wiązek włóknistych.
Rozmaitości różniczkowe stanowią "grunt" na którym bujnie wyrastają liczne
"geometryczne" sformułowania klasycznych działów fizyki, sztandarowym przykładem
jest oczywiście einsteinowska ogólna teoria względności.
Popularny przegląd takich zastosowań można znaleźć np. w klasycznej już książce :
Geometrical method of mathematical physics - B. F. Schutz (jest tłumaczenie rosyjskie Mir 1984 )
Bardzo ciekawe omówienie szczególnego rodzaju rozmaitości można znaleźć w książce :
Geometria rozmaitości Riemanna - M. Skwarczyński; WN -PWN 1993
(szkoda że WN -PWN nie wydaje już takich książek )
Ogólne wiadomości na temat rzeczywistych rozmaitości gładkich można znaleźć np. tutaj :
http://fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/Rozmaitosci_rozniczkowalne.pdf
Rozmaitość stanowi "podłoże" na którym bujnie wyrastają liczne struktury geometryczne.
Poglądowe przedstawienie struktur jakie można zadać na rozmaitościach :
http://fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/struktury_definiowane_na_rozmaitosci.pdf
Jedną z ważniejszych struktur algebraiczno- geometrycznych jest struktura tensorowa i
jej podstruktura - formy zewnętrzne :
http://fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/struktury_tensorowe.pdf
Jeśli chodzi o zastosowania np. w mechanice hamiltonowskiej struktury typu :
rozmaitość + skośniesymetryczny tensor metryczny,
polecam klasyczną książkę :
Metody matematyczne mechaniki klasycznej - W.I. Arnold; PWN 1981
oraz jej nowocześniejsze wydania np. takie :
Hamiltonian dynamics - Gaetano Vilasi ; World Scientifics Publishing 2001
