Tytuł jest oczywiście moją subiektywną opinią. Matematyka to wirtualna abstrakcja, Fizyka to analogia rzeczywistości do wirtualnej abstrakcji. Matematyczne nie oznacza Fizyczne ale wszystko co Fizyczne można przypasować do matematycznych równań, przynajmniej tak mi się wydaje. Matematyczne równania w pełni odzwierciedlają rzeczywistość dopiero wtedy gdy uwzględniają wszystkie detale rzeczywistości. Błędne zdefiniowanie rzeczywistości lub pominięcie jakiegoś szczegółu daje poprawne wyniki matematyczne ale nie muszą one odzwierciedlać rzeczywistości. Ważne więc jest znalezienie wszystkich detali rzeczywistości i ich prawidłowe zdefiniowanie.
Dlaczego pisze że Fizyki nie da się zrozumieć a trzeba ją wyliczyć? Ludzki umysł pojmuje rzeczywistość na podstawie własnych doświadczeń z przeszłości, zdobywanie wiedzy również jest doświadczeniem. Według Fizyki, upraszczając przerzucenie kilku ton węgla z jednego miejsca w drugie ale na tej samej wysokości nie skutkuje wykonaniem pracy a przemieszczenie kilku ton węgla na w dół (np. do piwnicy) skutkuje ubytkiem Energi potencjalnej czyli wykonaniem pracy przez węgiel, wrzucając węgiel do piwnicy powinniśmy dostać dodatkową porcje energii na własny użytek. I jak to porównać to do życiowego doświadczenia, kiedy przerzucenie tony węgla wymaga włożenie sporo wysiłku i pracy?
Oczywiście przy przerzucaniu węgla praca wykonywana jest gdzie indziej ale intuicja podpowiada nam inaczej. Często wyniki matematyczne są sprzeczne z naszą intuicją opartą na doświadczeniach z życia codziennego.
Czym jest prędkość kątowa oznaczona pseudo-wektorem ω i jakie występują zależności między nią a innymi wielkościami Fizycznymi?
Fizyka klasyczna zaczyna się od zdefiniowania układu odniesienia czyli wyznaczenia gdzie jest 0 i kierunku trzech prostopadłych do siebie wymiarów. Każdy obiekt w tym układzie ma swoje trzy współrzędne które można zapisać jako wektor promienia r. Następnie wprowadzany jest czas a zmiana wektora r w czasie wyznacza wektor prędkości v=dr/dt, co odpowiada przebytej drodze w jednostce czasu. Jeżeli na obiekt nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą to wektor prędkości względem obiektu jest stały w czasie v=constans. Jednak kiedy na obiekt działa niezerowa siła lub działające siły się nie równoważą, to skutkują one powstaniem przyspieszenia w postaci wektora a, równoległego do działającej siły lub wypadkowej działających sił. Przyspieszenie ma pewną nieintuicyjną cechę, składowa a równoległa do v skutkuje zmianą długości wektora v a składowa prostopadła do v zmienia kierunek działania wektora prędkości ale nie jego długość.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/19/Moglfm0410_componentes_aceleraci%C3%B3n.jpg
Tak wynika z równań ale chyba każdy się zgodzi że jest to sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem, przyspieszenie nie jest jedynie wartością ale równie ważny jet kierunek działania. Te same przyspieszenie ma różne skutki dla różnych wektorów prędkości.
Dla mnie te parę zdań plus zagadnienie masy jest podstawowym poziomem Fizyki a wszystko resztę jest pochodną tych zależności.
Prędkość kątowa jest skutkiem działania przyspieszenia prostopadłego do wektora prędkości.
„Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) to przyspieszenie, którego doznaje ciało na skutek działania siły lub jej składowej prostopadłej do wektora prędkości ciała. Kierunek i zwrot tego przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem tej siły.„
https://pl.wikipedia.org/wiki/Przyspieszenie_do%C5%9Brodkowe
Wzór na przyspieszenie dośrodkowe to
ad=V^2/p
p – promień krzywizny toru w punkcie gdzie porusza się z prędkością V.
Jeżeli przyspieszenie dośrodkowe jest stałe w czasie to obiekt porusza się po okręgu. Wygodnie jest wtedy przyjąć układ odniesienia, gdzie środek układu pokrywa się ze środkiem okręgu jaki zatacza obiekt. Obiekt w takim układzie ma pozycje wyznaczoną przez wektor promienia r.
Uczy się że wektor prędkości kątowej ω wyznaczamy za pomocą reguły prawej ręki (śruby prawoskrętnej) która to wynika z zasady wyznaczania pseudo-wektorów podczas iloczynu wektorowego.
https://pl.wikipedia.org/wiki/Regu%C5%82a_%C5%9Bruby_prawoskr%C4%99tnej
Aby wyznaczyć kierunek działania ω musimy nałożyć na siebie wektor a x b = c gdzie nasze r jest wektorem a , a nasze v to wektor b.
Stąd intuicyjnie ω = r x v i klops. Intuicja po raz kolejny zawodzi. Iloczyn wektorowy zapisany skalarnie daje ω=rv [m^2/s] czyli mija się z prawdą. Czytałem już dziesiątki różnych źródeł i nigdzie się o tym nie wspomina. Okazuje się że licząc za pomocą iloczynu wektorowego prawdziwe jest jedynie stwierdzenie v = ω x r. Ale przecież to ω jest pochodną istnienia v i r a nie na odwrót. Jak to rozwiązać?
Mam taki pomysł. Wiedząc że
v = ω x r (1)
jest prawdziwe zapisujemy to skalarnie
v = ωr (2)
i w ten sposób mamy
ω=v/r (3)
r=v/ω (4)
Czyli prędkość kątowa jest wprost proporcjonalna do wektora prędkości i odwrotnie proporcjonalna do wektora położenia względem osi obrotu, jednocześnie jej kierunek wyznacza iloczyn wektorowy.
Znalazłem taki wzór na prędkość kątową
ω=(r x v)/(r)^2
Przy zapisie skalarnym i skróceniu r mamy nasze v/r ale ja proponuje by to zapisać bardziej elegancko. Moje wzory na ω,r,v łączące zależność skalarną (2),(3),(4) z zależnością iloczynu wektorowego (1).
ω = (1/r) x v (5)
v = ω x r (6)
r = v x (1/ω) (7)
Jednak czy można inaczej? Aby uzyskać r najpierw musimy ustalić specjalny układ odniesienia a czy da się to zrobić bezpośrednio na podstawie wektora prędkości v i przyspieszenia a?
Profesor Popko tłumaczy czym jest prędkość kątowa.
Prędkość to droga przebyta w czasie a prędkość kątowa to kąt θ przebyty w czasie
ω=(dθ/dt) czyli dla ω=constans
θ=ωt [(1/s)*s]
Droga „s” jaką przebędzie obiekt w czasie to
s=rθ=rωt
Mamy też dwa wzory na przyspieszenie dośrodkowe
ad=v^2/r (8)
ad=-ω^2r (9)
Profesor Popko podaje ciekawą zależność
ad║-r
Czy można tak po prostu podmienić i za r dać -ad? Bierzemy skalrnie wzór (8) i podstawiamy za r zależność (4) otrzymujemy
ad=vω (10)
ω=ad/v
Czyli proporcje się zgadzają jednak znów jest problem z iloczynem wektorowym, podstawiając -ad za r we wzorach (5)(6)(7) aby jednostki się zgadzały iloczyny wektorowe musimy zapisać w następujący sposób
v =(1/ω x -ad) = ad x (1/ω) (11)
ad = ω x v (12)
ω = (1/v) x ad (13)
Teraz muszę jakoś zweryfikować czy uzyskane wzory są poprawne, niestety nigdzie wcześniej nie spotkałem się z taką interpretacją i nie mam pewności że uwzględniłem wszystkie szczegóły. Jednak pierwsze szacunki wyliczania na podstawie tych zależności chwilowych osi obrotu rokują bardzo dobrze. Być może uda mi się wypracować bardzo prosty algorytm wyliczania prędkości kątowej dla dwóch punktów na podstawie ich wektorów v i ad, co by było krokiem milowym w drodze do mojej finalnej symulacji działania sił więzów w czasie obrotu bryły sztywnej. Muszę się uzbroić w cierpliwość bo pewnie jeszcze sporo niespodzianek i problemów do rozwiązania po drodze.
