0 obserwujących
38 notek
17k odsłon
742 odsłony

Orientacja sześcianu

Wykop Skomentuj26

Tytuł niniejszej notki może niektórym Czytelnikom sugerować, że notka ta powinna trafić do działu "Społeczeństwo" bo sprawia wrażenie anonsowania popularnych ostatnio zagadnień związanych z gender i LPBT.

Jednak tematem, który chcę tutaj poruszyć jest sprawa geometrycznej orientacji przestrzennej, a więc tematyki nadającej się jedynie do działu "Nauka".


Mamy sobie sześcian. Niech, dla ustalenia uwagi, będzie to sześcian o boku o długości 1 metr. Objętość tego sześcianu to 1 metr sześcienny. Sześcian ten ma osiem wierzchołków, przy czym, wierzchołki te są rozróżnialne a więc każdy z nich ma nadaną nazwę.

Niech nazwami tymi będą litery A, B, C, D, E, F, G, H.

Zadajmy sobie pytanie - ile stopni swobody ma taki sześcian?

Ograniczymy się tu jednak jedynie do opisu stanu tego sześcianu nie uwzględniającego upływu czasu. Innymi słowy, niech nasz sześcian będzie nieruchomy.

W takim przypadku, aby opisać stan takiego sześcianu, czyli usytuowanie tego sześcianu w przestrzeni, potrzeba podobno sześciu liczb (czyli że taki sześcian ma 6 stopni swobody). Przyjrzyjmy się temu stwierdzeniu.

Aby opisać położenie i orientację naszego sześcianu można by podać na początek pozycję wierzchołka A. Ujednoznacznienie tej pozycji wymaga podania trzech współrzędnych (trzech liczb) np. w kartezjańskim układzie współrzędnych. (Równie dobrze można by podać współrzędne nie wierzchołka A ale np. współrzędne środka sześcianu.)

Potem trzeba by określić położenie innego wierzchołka. Najlepiej jeśli będzie to przeciwległy wierzchołek do A (niech będzie to wierzchołek H). Użyjemy do tego znowu trzech liczb - współrzędnych wierzchołka H. W sumie użyliśmy więc sześciu liczb ale jeszcze nie określiliśmy orientacji sześcianu bo przecież sześcian może jeszcze być dowolnie obrócony wokół osi A-H. Potrzebujemy zatem siódmej liczby określającej kąt obrotu wokół tej osi.

Wychodzi nam zatem, że sześcian może mieć co najwyżej siedem stopni swobody.

No ale jak zmniejszyć tę liczbę do sześciu.

Ktoś może zauważyć, że aby określić położenie wierzchołka H nie trzeba użyć aż trzech liczb rzeczywistych bo z dwóch współrzędnych można w zasadzie (znając długość przekątnej sześcianu i położenie wierzchołka A), określić trzecią współrzędną posługując się wzorem podobnym do tego:

x2 + y+ z2 = d2 

No ale wyliczając współrzędną zet poznajemy ją tylko z dokładnością do znaku (gdyż pierwiastek z liczby d2 - x2 - y2 może być albo dodatni albo ujemny).

Tak więc ograniczyliśmy w ten sposób liczbę stopni swobody do sześciu liczb rzeczywistych i jednej liczby boolowskiej (0 albo 1, plus albo minus)

Czy możemy zmniejszyć liczbę stopni swobody do sześciu liczb rzeczywistych?

Możemy to zrobić sprytnie umieszczając informację o znaku współrzędnej zet nie w liczbie boolowskiej a w liczbie opisującej kąt obrotu wokół osi A-H.

Możemy np. uznać że kąt w przedziale od 0 do 2π mówi nam o tym, że wybieramy dodatni pierwiastek, a kąt w przedziale od 2π do 4π mówi nam o tym, że wybieramy pierwiastek ujemny.

W ten sposób osiągnęliśmy to czego oczekiwaliśmy - sześcian ma sześć stopni swobody.


Jak widzimy, przy takim poradzeniu sobie z problemem, dopiero obrót o kąt 4π określa nam ten sam stan sześcianu.

Wykop Skomentuj26
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie