Krzywa Freya, twierdzenie Fermata, dowód A. Wilesa… i parabole

MM&AlK

Pamięci Pierre Fermata w 354 rocznicę śmierci... 

Krzywa Freya, zgodnie z równaniem podanym w ROCZNIKACH POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XLIII (2007), autor Andrzej Dąbrowski Modularność krzywych eliptycznych i Wielkie Twierdzenie Fermata ma postać: 

y² = x(x − A)(x + B)

gdzie dla danych liczb naturalnych A i B, względnie pierwszych, liczba A jest podzielna przez 16.  

Przyjmuje się również, że dla pewnego wykładnika pierwszego p ≥ 5, liczby naturalne a, b, c, parami względnie pierwsze, gdzie a jest parzyste, spełniają równanie Fermata czyli równanie:   a^p + b^p = c^p gdzie p ≠ 2 ma rozwiązanie w liczbach naturalnych. 

Przyjmując, że A = a^p (A jest podzielne przez 16) B = b^p, otrzymujemy krzywą Freya o równaniu: 

y² = x(x – a^p)(x + b^p) = x³ + (b^p – a^p)x² – a^pb^px

Wyróżnik tej krzywej wynosi: ∆ = a^2pb^2p(a^p + b^p)² = (abc)^2p

a jej minimalny wyróżnik to: ∆_min = (abc)^2p/2⁸

Ponieważ ∆ ≠ 0 zatem krzywa jest krzywą eliptyczną.

Przy tak zadanych warunkach dowodzi się (dowód Wilesa przeprowadzony został na 200 stronach, z wykorzystaniem form modularnych), że krzywa taka nie istnieje i wnioskuje, że równanie Fermata nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych... 

Krzywa Freya i... parabole.

Dla każdej dowolnej pary n-tych potęg liczb naturalnych aⁿ, bⁿ względnie pierwszych, z których to liczb jedna jest liczbą parzystą a druga nieparzystą, spełniających warunek  aⁿ + bⁿ = cⁱ gdzie i = 1, 2, 3,… istnieją dwie parabole:

y_a = C_ax     i    y_b = C_bx,

w których dla odciętej x = cⁱ, kwadraty rzędnych opisane są równaniem Freya:

y²_a = C_ax = x(x – bⁿ)(x + aⁿ) = cⁱ(cⁱ – bⁿ)( cⁱ + aⁿ)

y²_b = C_bx = x(x – aⁿ)(x + bⁿ) = cⁱ(cⁱ – aⁿ)( cⁱ + bⁿ)

Jest więc: y²_a = cⁱaⁿ( cⁱ + aⁿ) = c²ⁱaⁿ + a²ⁿcⁱ

                 y²_b = cⁱbⁿ( cⁱ + bⁿ) = c²ⁱbⁿ + b²ⁿcⁱ

Przykład dla liczb a = 3, b = 4, n = 5

Parabola y_a² = 366 930x,

dla odciętej x = 3⁵ + 4⁵ = 1 267 ma punkt Freya dla kwadratu rzędnej:

          y_a² = 1 267(1 267 – 4⁵)(1 267 + 3⁵) = 464 900 310 ;   y_a = 21 561,54702

Parabola y_b² = 2 345 984 x

dla odciętej x = 3⁵ + 4⁵ = 1267 ma punkt Freya dla kwadratu rzędnej:

          y_b² =1 267(1 267 – 3⁵)(1 267 + 4⁵) = 2972361728    ;   y_b = 54 519,37021

Przykład dla liczb a = 3, b = 4, n = 7

Parabola y² = 572 702 720 x

          dla odciętej x = (3⁷ + 4⁷) = 18 571 ma punkt Freya dla kwadratu rzędnej

          y² = 18 571(18 571 − 3⁷)(18 571 + 4⁷) = 10 635 662 213 120 ;  y = 3 261 236,301

Przykład dla najmniejszych liczb dwucyfrowych a = 10, b = 11, n = 5

Parabola y_a² = 36 105 100 000x

dla odciętej x = (10⁵ + 11⁵) = 261 051 ma punkt Freya dla kwadratu rzędnej

          y_a² = 251 051(261 051 – 11⁵)(261 051 + 10⁵) ;     y_a = 97 083 842,4255036…

Przyjmując założenie jak w równaniu Freya: i = n = p mamy: a^p + b^p = c^p gdzie a, b są liczbami naturalnymi względnie pierwszymi oraz p jest liczbą pierwszą p ≠ 2 stąd:

       y²_a = c^pa^p( c^p + a^p) = c^2pa^p + a^2pc^p = (c²a)^p + (a²c)^p

     y²_b = c^pb^p( c^p + b^p) = c^2pb^p + b^2pc^p= (c²b)^p + (b²c)^p

Z uwagi na fakt, że iloczyny liczb c^pa^p oraz c^pb^p nie są kwadratami liczb naturalnych stąd równania:

y²_a = (c²a)^p + (a²c)^p

y²_b = (c²b)^p + (b²c)^p

nie mają rozwiązania w liczbach naturalnych a, b, c, p, y.

Tak więc dowód Wilesa nie dotyczy Wielkiego Twierdzenia Fermata. Dowodząc, że krzywa określona równaniem Freya nie istnieje (a istnieć nie może bo równanie opisuje kwadrat rzędnej punktu paraboli), wykazujemy, że równania powyższe nie mają rozwiązania w liczbach naturalnych.

Małe dygresje...

I. Zakładamy że mamy równanie Freya:   y² = x(x − A)(x + B)

gdzie dla danych liczb naturalnych A i B, względnie pierwszych, liczba A jest podzielna przez 16.

Przyjmiemy również, że dla pewnych wykładników pierwszych p ≥ 5 oraz dowolnych wykładników i ≥ 5, gdzie p ≠ i, liczby naturalne a, b, c, są parami względnie pierwsze, gdzie a jest parzyste, nie spełniają równania Fermata czyli równanie a^p + b^p ≠ c^p. Przyjmujemy zatem, że: 

a^p + b^p = cⁱ gdzie p ≠ 2, p ≠ i   ma rozwiązania w liczbach naturalnych.

Przyjmując, że A = a^p (A jest podzielne przez 16) B = b^p, otrzymujemy krzywą Freya o równaniu:

y² = x(x − a^p)(x + b^p) = x³ + (b^p − a^p)x² − a^pb^px

Wyróżnik tej krzywej wynosi: ∆ = a^2pb^2p(a^p + b^p)² = (a^pb^pcⁱ)²

a jej minimalny wyróżnik to: ∆_min = (a^pb^pcⁱ)²/2⁸

Ponieważ ∆ ≠ 0 zatem krzywa jest krzywą eliptyczną.

Czy przy tak zadanych warunkach jeśli dowiedzie się, że krzywa taka nie istnieje (a istnieć nie może, mamy bowiem do czynienia z punktem paraboli) należy wnioskować, że równanie Fermata ma rozwiązania w liczbach naturalnych tylko dla i = p, a więc wnioskować, że Wielkie Twierdzenie Fermata jest nieprawdziwe?...

II. Przyjmujemy założenie, że równanie Fermata: (1)  xⁿ + yⁿ = zⁿ czyli zⁿ – xⁿ = yⁿ ma rozwiązanie w liczbach naturalnych.

1. Piszemy równanie (2)   x²ⁿ + u²ⁿ = z²ⁿ ;  równanie równoważne: u²ⁿ = z²ⁿ – x²ⁿ = (zⁿ – xⁿ)(zⁿ + xⁿ)

2. Udowadniamy, że równanie (2) nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych – nie istnieje trójkąt pitagorejski spełniający przedstawione warunki (powyższe udowodnił Gay Terjanian).

4. Wnioskujemy: Skoro równanie (2) nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych i nie istnieje trójkąt pitagorejski spełniający warunki (2) zatem równanie:  zⁿ – xⁿ = yⁿ czyli równanie  (1) xⁿ + yⁿ = zⁿ

nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych - twierdzenie Fermata jest prawdziwe...? No i trochę przesadziliśmy...