Czy Achilles dogoni żółwia? Przepisane z sieci:
Fizyka
Wiązka zadań
Achilles i żółw
Sugerowane przeznaczenie Praca na lekcji, Praca domowa
Zadanie
Starożytny filozof grecki Zenon z Elei jest autorem kilku paradoksów (czyli zaskakujących przykładów prowadzących do stwierdzeń sprzecznych ze zdrowym rozsądkiem) dotyczących ruchu. Oto opis jednego z nich:
Achilles i żółw stają na linii startu wyścigu na dystans 100 m. Załóżmy, że Achilles potrafi biegać dwa razy szybciej od żółwia. Aby dać szansę żółwiowi jego start umieszczono w połowie dystansu (rys.1). Gdy Achilles dobiegnie do miejsca, z którego startował żółw, żółw przebiegnie25 m(rys 2.). Gdy Achilles przebędzie to 25 m, żółw przebędzie12,5 m (rys. 3), itd., więc Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
Trudna sprawa. Gdybym to ja bym uczniem, nie wiedziałbym co z tym fantem zrobić....
Jest w tym jakaś głębia filozoficzna. Jednak w praktyce z tej głębi żadnego pożytku nie ma. Może tylko ten, że tego typu pytania przyczyniły się do rozwoju nauki o szeregach nieskończonych, “rachunku nieskończenie małych”, rachunku różniczkowego i calkowego, Warto obejrzeć:
Nie udawaj Greka - Paradoks Zenona z Elei
Według nauki dzisiejszej, jak się wydaje zgodnej w tym przypadku z praktyką, Achilles dogoni żólwia, i nawet go przegoni. Chyba, że się zacznie po drodze oglądać za klaszczącymi mu dziewczętami, potknie się i przewróci. Przypadki bowiem chodzą po ludziach. Chodziły za czasów greckich i chodzą tak samo dziś.
Lecz ta notka jest nie o tym jak to Achilles przegoni żółwia, ale o tym jak to światło nigdy nie dogoni rakiety poruszającej się od światła wolniej. Tak to się ma według szczególnej teorii względności Einsteina. A niniejsza notka jest zwykłym dalszym ciągiem serii notek o ruchu jednostajnie przyśpieszonym według szczególnej teorii względności.
Nie będę się wdawał w definicje przyśpieszenia, czteroprzyśpieszenia, przyśpieszenia własnego i cudzego. Wystarczy, że przypomnę, że historia ruchu (linia świata) punktu materialnego poruszającego się ze stalym przyśpieszeniem a dana jest formułą
Oto wykresy kilku takich hiperbol, obrazek zapożyczony z książki Rindlera “Essential Relativity”. Parametr X na tych wykresach to nasz 1/a. Hiperbola przecina oś poziomą, oś X1, w punkcie X1=1/a.
Na tym obrazku w przestrzeni Minkowskiego, gdy prędkość światła c przyjmiemy równą 1, linie światła to te pod kątem 45 stopni. Dwie takie linie widoczne są na rysunku. Jedna reprezentuje promień świetlny przechodzący przez punkt X1=0 w chwili T=0 i biegnący w dodatnim kierunku osi X1 – to ta z lewej-dół w prawo w górę, ze strzałką. To Achilles. Druga to promień świetlny biegnący w przeciwnym kierunku. W chwili T=0 nasz punkt materialny znajduje się w punkcie X1=1/a i ma prędkość zero. I od tej chwili zaczyna przyśpieszać. W tejże chwili promień świetlny startuje z punktu X1=0, i goni za naszym punktem materialnym. Ma do pokonania odległość 1/a. Jednak gdy promień świetlny dojdzie do punktu 1/a, to punkt materialny mu w tym czasie nieco ucieknie. Jak z tym Achillesem i żółwiem. I choć promień światła goni z prędkością światła, a punkt materialny, choć stale przyśpiesza, zawsze z prędkością mniejszą od prędkości światła, to, jak widać z wykresów, światło-Achilles nigdy nie dogoni punktu materialnego-żółwia. Prosta obrazująca historię ruchu promienia świetlnego jest asymptotą hiperboli, ale nigdy się z nią nie przetnie! Gdyby jednak nasz relatywistyczny świetlny Achilles w chwili T=0 wystartował z nieco bliższego punktu, niż odległego o 1/a, dał mu nieco mniejsze fory, toby żółwia dogonił.
Tak to wynika z matematyki. A w praktyce? Musimy jeszcze poczekać, bowiem napędy kosmiczne zapewniające stałe przyśpieszenie własne są dopiero na biurkach projektantów.
To pierwszy krok ku podróżom w czasie;
