Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
184 obserwujących
1407 notek
3381k odsłon
1676 odsłon

Nieskoczoność na horyzoncie

Wykop Skomentuj33

 

Czy ktoś widział płaszczyznę rzutową? Pyta i odpowiada na swoje pytanie Maria Donten-Bury w

 

Delcie z czerwca 2011. I dołącza do swojego artykułu animację z Youtube przedstawiającą trójwymiarowy rzut zanurzenia płaszczyzny rzutowej w przestrzeń cztero-wymiarową:

 

 

Są rzeczy na niebie i ziemi o których się filozofom nie śniło. Filozofowie może faktycznie sny mają ubogie. Natomiast matematycy – Ci dopiero śnią, i to na jawie!

 

W aktualnej serii notek piszę o najprostszej bodaj geometrii – geometrii Fano lub, dokładniej: piszę o płaszczyźnie rzutowej Fano. Nie wyjaśniłem jednak dotąd dokładniej skąd się wzięła ta „rzutowość” w nazwie. Dziś przyszedł na to czas.

 

Wszystko ma swój czas – jak pisał Eklezjasta! A geometrie skończone, bo do takich należy geometria Fano, mają zastosowanie także do badania czasu i do psychopatologii jego postrzegania – patrz np. Metod Saniga, „Geometry of Psychological Time.

 

W poprzedniej notce pisałem o trójwymiarowej przestrzeni nad ciałem zero-jedynkowym. Przyjrzyjmy się tej konstrukcji bliżej.

 

Mamy do dyspozycji liczby 0 i 1. Wraz ze zwykłymi działaniami arytmetycznymi, wszak z umową, że 1+1=0, mamy do dyspozycji najprostsze bodaj ciało liczb. Możemy więc utworzyć trójwymiarową przestrzeń o ośmiu punktach o współrzędnych: (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1).

 

Narysowane w układzie kartezjańskim są to po prostu wierzchołki jednostkowego sześcianu.

 

Od punktu (0,0,0) możemy poprowadzić prostą do każdego z pozostałych siedmiu punktów. Mamy więc siedem takich prostych.

 

Przez każde dwie proste przechodzi jedna płaszczyzna. W samej rzeczy, gdy wyrysujemy te płaszczyzny – jak w poprzedniej notce i w komentarzach pod nią – okaże się, że mamy siedem płaszczyzn. Każda płaszczyzna leży na trzech prostych, a każda prosta leży w trzech płaszczyznach.

 

Mamy więc geometrię Fano – pod warunkiem, że proste naszej przestrzeni będziemy interpretować jako punkty geometrii Fano, a płaszczyzny naszej przestrzeni będziemy interpretować jak linie geometrii Fano.

 

Następuje więc odjęcie jednego wymiaru. Prosta staje się punktem a płaszczyzna prostą. I to jest istota geometrii rzutowej. Gdy ołówek ustawimy pionowo na kartce papieru i oświetlimy lampą dokładnie z góry – jego cień stanie się punktem. Gdy zrobimy tak samo z książką – jej cień stanie się linią. (no, w przybliżeniu …).

 

Nasze płaszczyzny wszystkie przechodzą przez punkt (0,0,0) – tak się umówiliśmy. Zatem każde dwie, jeśli tylko różne, zawsze się przecinają wzdłuż wspólnej prostej. W języku geometrii Fano oznacza to, że każde dwie proste, jeśli tylko są różne, zawsze się przecinają we wspólnym punkcie. Jest to jedną z najistotniejszych cech geometrii rzutowej – każde dwie proste się przecinają. Inaczej: nie ma tam prostych „równoległych”! Malarz i architekt o tym dobrze wiedzą. Dwie równoległe szyny przecinają się w jakimś punkcie „na horyzoncie”. Ten punkt jest „nieskończenie daleko”, ale potrafimy go przedstawić w skończonej odległości – jeśli zastosujemy prawa perspektywy. Jest to istota geometrii rzutowej – ściągamy w niej „obiekty w nieskończoności” i „dołączamy je do naszej płaszczyzny”czy przestrzeni. By bawić się geometrią rzutową płaszczyzny – potrzeba nam trzech wymiarów. By bawić się geometrią rzutową przestrzeni – potrzeba nam czterech wymiarów itd. My bawimy się geometrią rzutową płaszczyzny – używamy więc trzech wymiarów. Proste traktujemy jako punkty, płaszczyzny jako proste.

 

Symetrie płaszczyzny Fano

 

Zajmijmy się symetriami płaszczyzny Fano. Już raz o nich dyskutowaliśmy – permutując wiersze i kolumny macierzy incydencji tej geometrii. Proponowałem przy tym użycie programu Maxima do wyliczenia ilości elementów w grupie symetrii. Wynik tych rachunków: 168.

 

Mamy jednak teraz model geometrii Fano jako płaszczyzny rzutowej (nad ciałem zero-jedynkowym). Pozwala to nam na inne podejście do problemu grupy symetrii. Co obecnie uczynimy.

 

Naszą geometrię rzutową konstruujemy z linii i z płaszczyzn. Wszystkie przechodzą przez punkt (0,0,0). Interesują więc nas transformacje naszej trójwymiarowej przestrzeni przeprowadzające proste w proste i płaszczyzny w płaszczyzny, oraz przeprowadzające wyróżniony punkt (0,0,0) w siebie. Są to transformacje liniowe. A transformacje liniowe zadawane są przez macierze. W naszym przypadku będą top macierze 3x3, o trzech wierszach i trzech kolumnach. A że do dyspozycji mamy jedynie liczby 0 i 1, w komórkach naszych macierzy będziemy umieszczać jedynie zera i jedynki.

 

Będziemy się też interesować jedynie macierzami, które niczego nie zlewają ze sobą, takimi, które niczego nie zgubią po drodze – macierzami odwracalnymi, Macierze takie tworzą grupę: w szczególności iloczyn dwóch macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną.

Wykop Skomentuj33
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie