Czy ktoś widział płaszczyznę rzutową? Pyta i odpowiada na swoje pytanie Maria Donten-Bury w
Delcie z czerwca 2011. I dołącza do swojego artykułu animację z Youtube przedstawiającą trójwymiarowy rzut zanurzenia płaszczyzny rzutowej w przestrzeń cztero-wymiarową:
Są rzeczy na niebie i ziemi o których się filozofom nie śniło. Filozofowie może faktycznie sny mają ubogie. Natomiast matematycy – Ci dopiero śnią, i to na jawie!
W aktualnej serii notek piszę o najprostszej bodaj geometrii – geometrii Fano lub, dokładniej: piszę o płaszczyźnie rzutowej Fano. Nie wyjaśniłem jednak dotąd dokładniej skąd się wzięła ta „rzutowość” w nazwie. Dziś przyszedł na to czas.
Wszystko ma swój czas – jak pisał Eklezjasta! A geometrie skończone, bo do takich należy geometria Fano, mają zastosowanie także do badania czasu i do psychopatologii jego postrzegania – patrz np. Metod Saniga, „Geometry of Psychological Time”.
W poprzedniej notce pisałem o trójwymiarowej przestrzeni nad ciałem zero-jedynkowym. Przyjrzyjmy się tej konstrukcji bliżej.
Mamy do dyspozycji liczby 0 i 1. Wraz ze zwykłymi działaniami arytmetycznymi, wszak z umową, że 1+1=0, mamy do dyspozycji najprostsze bodaj ciało liczb. Możemy więc utworzyć trójwymiarową przestrzeń o ośmiu punktach o współrzędnych: (0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1).
Narysowane w układzie kartezjańskim są to po prostu wierzchołki jednostkowego sześcianu.
Od punktu (0,0,0) możemy poprowadzić prostą do każdego z pozostałych siedmiu punktów. Mamy więc siedem takich prostych.
Przez każde dwie proste przechodzi jedna płaszczyzna. W samej rzeczy, gdy wyrysujemy te płaszczyzny – jak w poprzedniej notce i w komentarzach pod nią – okaże się, że mamy siedem płaszczyzn. Każda płaszczyzna leży na trzech prostych, a każda prosta leży w trzech płaszczyznach.
Mamy więc geometrię Fano – pod warunkiem, że proste naszej przestrzeni będziemy interpretować jako punkty geometrii Fano, a płaszczyzny naszej przestrzeni będziemy interpretować jak linie geometrii Fano.
Następuje więc odjęcie jednego wymiaru. Prosta staje się punktem a płaszczyzna prostą. I to jest istota geometrii rzutowej. Gdy ołówek ustawimy pionowo na kartce papieru i oświetlimy lampą dokładnie z góry – jego cień stanie się punktem. Gdy zrobimy tak samo z książką – jej cień stanie się linią. (no, w przybliżeniu …).
Nasze płaszczyzny wszystkie przechodzą przez punkt (0,0,0) – tak się umówiliśmy. Zatem każde dwie, jeśli tylko różne, zawsze się przecinają wzdłuż wspólnej prostej. W języku geometrii Fano oznacza to, że każde dwie proste, jeśli tylko są różne, zawsze się przecinają we wspólnym punkcie. Jest to jedną z najistotniejszych cech geometrii rzutowej – każde dwie proste się przecinają. Inaczej: nie ma tam prostych „równoległych”! Malarz i architekt o tym dobrze wiedzą. Dwie równoległe szyny przecinają się w jakimś punkcie „na horyzoncie”. Ten punkt jest „nieskończenie daleko”, ale potrafimy go przedstawić w skończonej odległości – jeśli zastosujemy prawa perspektywy. Jest to istota geometrii rzutowej – ściągamy w niej „obiekty w nieskończoności” i „dołączamy je do naszej płaszczyzny”czy przestrzeni. By bawić się geometrią rzutową płaszczyzny – potrzeba nam trzech wymiarów. By bawić się geometrią rzutową przestrzeni – potrzeba nam czterech wymiarów itd. My bawimy się geometrią rzutową płaszczyzny – używamy więc trzech wymiarów. Proste traktujemy jako punkty, płaszczyzny jako proste.
Symetrie płaszczyzny Fano
Zajmijmy się symetriami płaszczyzny Fano. Już raz o nich dyskutowaliśmy – permutując wiersze i kolumny macierzy incydencji tej geometrii. Proponowałem przy tym użycie programu Maxima do wyliczenia ilości elementów w grupie symetrii. Wynik tych rachunków: 168.
Mamy jednak teraz model geometrii Fano jako płaszczyzny rzutowej (nad ciałem zero-jedynkowym). Pozwala to nam na inne podejście do problemu grupy symetrii. Co obecnie uczynimy.
Naszą geometrię rzutową konstruujemy z linii i z płaszczyzn. Wszystkie przechodzą przez punkt (0,0,0). Interesują więc nas transformacje naszej trójwymiarowej przestrzeni przeprowadzające proste w proste i płaszczyzny w płaszczyzny, oraz przeprowadzające wyróżniony punkt (0,0,0) w siebie. Są to transformacje liniowe. A transformacje liniowe zadawane są przez macierze. W naszym przypadku będą top macierze 3x3, o trzech wierszach i trzech kolumnach. A że do dyspozycji mamy jedynie liczby 0 i 1, w komórkach naszych macierzy będziemy umieszczać jedynie zera i jedynki.
Będziemy się też interesować jedynie macierzami, które niczego nie zlewają ze sobą, takimi, które niczego nie zgubią po drodze – macierzami odwracalnymi, Macierze takie tworzą grupę: w szczególności iloczyn dwóch macierzy odwracalnych jest macierzą odwracalną.
W ogólnym przypadku powinniśmy zatroszczyć się o ten fakt, że dwie macierze, które są do siebie proporcjonalne będą w identyczny sposób transformować linie i płaszczyzny – będą je jedynie „rozciągać lub skracać”, czego nasze oka patrzące z góry nie zauważy – cień punktowy ołówka nie zależy od jego długości! W naszym przypadku jednak jedynym różnym o zera możliwym współczynnikiem proporcjonalności jest 1. Czyli ten kłopot nam tu odpada.
Ile jest więc zatem różnych macierzy odwracalnych 3x3 z zerami i jedynkami w komórkach? Komórek jest 9, więc wszystkich macierzy 3x3 jest 29= 512. A ile wśród nich jest odwracalnych?
Będziemy tu korzystać z prostego faktu z algebry:macierz jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy żaden z jej wierszy nie jest kombinacją liniową jakichś pozostałych wierszy. W powtórzeniu z algebry (dla ekonomistów) znajdujemy na przykład:
„Macierz odwrotna nie zawsze istnieje. Warunkiem koniecznym
(i wystarczającym) na to, żeby istniała macierz odwrotna do macierzy A, jest to, żeby wiersze (kolumny) macierzy A były liniowo niezależne. Taką macierz nazywamy nieosobliwą.„
Zatem ekonomiści o tym wiedzą, a przecież każdy z nas ma się za ekonomistę, nieprawdaż? Zatem i my się tego nie boimy.
Porachujmy więc ile jest odwracalnych macierzy w naszym przypadku. Pierwszy wiersz może być dowolny, byle był niezerowy. Możliwości mamy siedem: (0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1). Drugi wiersz może być dowolny, byle niezerowy i byle różny od pierwszego wiersza. Tych mamy już tylko sześć. Trzeci wiersz … Nie może być cały zerowy
, nie może być taki sam jak pierwszy, nie może być taki sam jak drugi, no i nie może być taki sam jak suma pierwszego i drugiego. Takich jest cztery. Zatem możemy zbudować 7x6x4 = ? macierzy odwracalnych.
Czytelnik zechce to wyliczyć. A dla rozrywki napisałem program w języku Maxima wyliczający wszystkie te macierze. Możemy je wszystkie sobie, jedna pod drugą, wypisać:
/*****************************************************/
/* Najpierw wprowadzam siedem możliwych wiersz */
p1:[0,0,1]$
p2:[0,1,0]$
p3:[0,1,1]$
p4:[1,0,0]$
p5:[1,0,1]$
p6:[1,1,0]$
p7:[1,1,1]$
/* Dalej, grupuję je w jednej tablicy p */
p:[p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7]$
/* grm będzie tablicą macierzy odwracalnych. Początkowo definiuję ją jako tablicę pustą */
grm:[]$
/* Teraz piszę program wyliczający wszystkie macierze odwracalne */
block([l,tmp],
/* l i temp to zmienne wewnętrzne programu. Na wszelki wypadek jeszcze raz inicjalizuję tabelę grm, oraz l jako 0. Na końcu l będzie liczbą macierzy odwracalnych */
grm:[],
l:0,
/* pierwszy wiersz p[i] może być dowolny */
for i:1 thru 7 do
/* drugi wiersz p[j] musi być różny od pierwszego */
for j:1 thru 7 do
(if is(notequal(p[j],p[i]))then
/* Trzeci wiersz p[k] musi być różny od pierwszego, różny od drugiego, oraz różny od ich sumy modulo 2 */
for k:1 thru 7 do
(if
is(notequal(k,i)) and is(notequal(k,j)) and is(notequal(p[k],mod(p[i]+p[j],2)))
then
/* gdy warunki te są spełnione, zwiększ licznik l o 1 oraz dodaj do tablicy macierz o wierszach p[i],p[j],p[k] */
(l:l+1, tmp:[p[i],p[j],p[k]], grm:append(grm,[matrix(tmp[1],tmp[2],tmp[3])])))),
/*Wydrukuj końcową wartość licznika */
print(l));
/* Po wykonaniu tego bloku możemy obejrzeć np. dwie z naszych macierzy */
grm[1];
grm[2];
/* Na wszelki wypadek sprawdźmy też długość naszej tablicy wszystkich symetrii */
length(grm);
/*****************************************************/
W całej tej zabawie zniknęła nam z pola widzenia grupa symetrii siedmiokrotnej, którą poprzednio dyskutowaliśmy. Gdzie się ona, wśród tych 168 macierzy ukrywa? O tym w następnej notce. Pozostaje też otwartym pytanie: czy przejście do czterech wymiarów pozwoli nam nam na zanurzenie geometrii Fano podobnie jak to miało to miejsce dla zwykłej płaszczyzny rzutowej w filmie z Youtube na wstępie niniejszej notki? Może się to wiązać z hipotezą Bjaba, że geometrię Fano powinno się dać w naturalny sposób wymodelować w czterech wymiarach. Dziś nie znam jeszcze odpowiedzi na to ostatnie pytanie.
Komentarze