MM&AlK
Uwaga. Zapisy:
(a,b) = 1 (czytaj: liczby a, b są liczbami względnie pierwszymi. Ich wspólny podzielnik to liczba 1),
(a,b) = k (czytaj: liczby a, b mają wspólny podzielnik jest to liczba k)
Iloczyn sumy i różnicy potęg liczb nieparzystych.
Wniosek 2 do dowodu twierdzenia (30) o równaniu x4 + y4 = z4, str 36 Wstępu do teorii liczb W. Sierpińskiego mówi, że: Nie ma dwóch liczb naturalnych, których sama kwadratów i różnica kwadratów byłyby kwadratami liczb całkowitych.
Odrobinę dodamy od siebie…
Wykażemy, że twierdzenie powyższe można uogólnić… Przyjmijmy, że dane są dwie potęgi liczb naturalnych nieparzystych
zn, xn gdzie zn > xn, względnie pierwszych (z, x) = 1, gdzie n >1
Twierdzimy: Nie ma dwóch liczb naturalnych, których sama n-tych potęg i różnica n-tych potęg byłyby k-tymi potęgami liczb całkowitych dla n,k > 1.
Lub inaczej: Nie istnieje taki układ równań w którym suma potęg i różnica potęg tych samych liczb naturalnych nieparzystych zn, xn byłyby potęgami liczb naturalnych dla n,k >1. Zatem układ równań:
zn + xn = tk
zn – xn = yk
nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych.
Dowód:
Dla dowolnej pary potęg liczb nieparzystych możemy znaleźć liczbę a, będącą średnią arytmetyczną tych liczb:
(zn + xn)/2 = a taką, że: zn = a + b ; xn = a – b.
Wobec (z, x) = 1 jest (a + b , a – b) = 1.
Z uwagi na nieparzystość liczb z, x, liczby a i b nie mogą być obie parzyste i obie nieparzyste bowiem byłoby
(a + b, a – b) = 2 stąd (zn, xn) = 2.
Tak więc jedna z liczb a, b jest liczbą parzystą a druga liczbą nieparzystą. Mamy więc:
(1) (zn + xn)/2 = a ; (2) (zn - xn)/2 = b
Z zależności (1) i (2) oraz faktu, że jedna z liczb a, b jest liczbą nieparzystą wynika, że suma lub różnica potęg jest iloczynem liczby 2 i liczby nieparzystej lub jej potęgi. Jest bowiem:
zn + xn = 2a ; zn – xn = 2b
Jeżeli suma potęg lub różnica potęg liczb naturalnych jest iloczynem liczby dwa i liczby nieparzystej lub jej potęgi, to niemożliwe jest by była potęgą liczby naturalnej. Liczba 2 nie jest n-tą potęgą liczby naturalnej dla n, k >1. C.b.d.o.
Wniosek 1.
Równanie: zn – xn = yn, gdzie liczby zn, xn są potęgami liczb nieparzystych, a więc równanie Fermata:
zn = xn + yn
nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych, gdy wartość średnia sumy liczb nieparzystych zn, xn jest liczbą parzystą dla n >2.
Powyższe wynika z faktu, iż dla (zn + xn)/2 = a, gdzie a jest liczbą parzystą jest:
zn – xn = 2b,
gdzie liczba b jest liczbą nieparzystą lub jej potęgą, natomiast liczba 2 nie jest n-tą potęgą liczby naturalnej. C.b.d.o.
I tak udowodniliśmy Wielkie Twierdzenie Fermata dla przypadku gdy średnia wartość sumy liczb nieparzystych jest liczbą parzystą…
Zabawa z Fermatem jest fajna… Bawmy się dalej…
Każda osoba o wykształceniu technicznym wie (o matematykach nie wspominając) o ścisłym związku twierdzenia Pitagorasa z okręgiem i praktycznym wykorzystaniu tego związku chociażby w trygonometrii… Rodzi się pytanie…
- Czy twierdzenie Fermata ma związek z okręgiem? Jeśli tak, to jaki… O tym w kolejnej notce.
