TAJEMNICA LICZB (2)

MM&AlK 

Liczby złożone

Liczby złożone są iloczynem skończonej ilości liczb pierwszych. Każda liczbę złożoną możemy przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb. Dla co trzeciej liczby w zbiorze liczb naturalnych dzielnikiem jest liczba trzy. Dla liczb złożonych nieparzystych zachodzi prosta, bardzo pomocna przy znajdowaniu dzielników liczb zależność.

Jeżeli liczba m = 2k + 1 jest dzielnikiem liczby N = 2n + 1, to liczba m jest dzielnikiem liczby (n – k).

Jest więc: (n – k)/m = t. Liczba 2t + 1 jest drugim dzielnikiem liczby N np:

133 = 2 × 66 + 1 ; liczba m = 7 = 2 × 3 + 1 jest dzielnikiem liczby 133.

Jest więc t = (66 – 3)/7 = 9. Drugi dzielnik liczby 133 wynosi zatem: 2t + 1 = 2 × 9 + 1 = 19.  

Tak ogólnie:

Jeżeli liczba m = 2k + 1 jest dzielnikiem liczby N = 2n + 1,

to liczba ta ma również dzielnik postaci 2[(n – k)/(2k + 1)] + 1. Dowód wynika z tożsamości:

(2k + 1)[2(n – k)/(2k + 1) + 1] = 2(n – k) + 2k + 1 = 2n + 1 = N.

Przy dużych liczbach przydatne są czasami „banalne” wzory, pozwalające znajdować dzielniki niektórych dużych liczb np. liczb Mersenne’a bowiem każda liczba postaci:  

M_m = 2^m – 1, gdzie m jest liczbą całkowitą i m = 3n oraz n ≥ 1, ma dzielniki:

a = 2ⁿ – 1,     b = 2ⁿ(2ⁿ + 1) + 1.

Z kolei każda liczba postaci:

N = 2^m + 1, gdzie m jest liczbą naturalną i m = 3n ma dzielniki:

a = 2ⁿ + 1,   b = 2ⁿ(2ⁿ – 1) + 1.

Dowody wynikają z tożsamości. Łatwo nam znaleźć i wyznaczyć dzielniki liczby M_m oraz liczby N o takich wykładnikach... Wystarczy sprawdzić, czy suma cyfr wykładnika m dzieli się przez 3.

Przykład:

Suma cyfr wykładnika potęgowego liczby M_m = 2¹⁵³⁴² – 1 wynosi 15, zatem liczba M_m ma dzielniki o wykładniku 15342/3 = 5114 odpowiednio:

a = 2⁵¹¹⁴ – 1,     b = 2⁵¹¹⁴(2⁵¹¹⁴ + 1) + 1.

Liczba N = 2¹⁵³⁴² + 1 ma natomiast dzielniki o wykładniku 15342/3 = 5114 odpowiednio:

a = 2⁵¹¹⁴ + 1,      b = 2⁵¹¹⁴(2⁵¹¹⁴ – 1) + 1.

Jeżeli weźmiemy wielkie potęgi, to też nie ma problemu jeżeli suma cyfr wykładnika m dzieli się przez 3 np.

M_m = 2^{513 479 823 701 503 874 053 127 872 737} – 1.

Suma cyfr potęgi liczby 2 wynosi 128 i dzieli się przez 3, zatem wykładnik także dzieli się przez 3 – zatem wyznaczymy dzielniki liczby M_m = ab... Czynniki a,b  liczby M_n wynoszą odpowiednio:

a = 2ⁿ + 1,  b = 2ⁿ(2ⁿ – 1) + 1, gdzie n = 171159941233834624684375957579

Powyższa zasada dotyczy także liczb postaci:

M_k = k^m – 1, gdzie k, m są liczbami naturalnymi i m = 3n oraz n ≥ 1.

Liczba M_k ma dzielniki: a = kⁿ – 1,m    b = kⁿ(kⁿ + 1) + 1.  

Z kolei każda liczba postaci:

N = k^m + 1, gdzie k, m są liczbami naturalnymi i m = 3n ma dzielniki:

a = kⁿ + 1,    b = kⁿ(kⁿ – 1) + 1.

Łatwo nam znaleźć i wyznaczyć dzielniki liczby M_k oraz liczby N o takich wykładnikach... Wystarczy sprawdzić, czy suma cyfr wykładnika m dzieli się przez 3.

Przykład:

Liczba M = 6⁶ – 1 = 46 655 ;  a = 6² – 1,  b = 6²(6² + 1) + 1.  

Liczba N = 6⁶ + 1 = 46 657 ;  a = 6² + 1, b = 6²(6² – 1) + 1. 

Istnieją liczby, które nie mają wyraźnego rozkładu na czynniki pierwsze np.

liczba N = K² + 1. Oczywiście nie dotyczy to liczb K = u^3m.

Szczególne znaczenie mają liczby Mersenne’a w których wykładnik potęgowy jest liczbą pierwszą, a więc liczby postaci:

M_p = 2^p – 1 gdzie p jest liczba pierwszą.

Udowodniono, że jeżeli liczba M_p jest liczbą pierwszą, to wykładnik p musi być również liczbą pierwszą. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Istnieją liczby M_n nie będące liczbami pierwszymi mimo, że wykładnik p jest liczbą pierwszą.