Jeśli się nie mylę, to ruch jednostajnie przyśpieszony omawiany jest w siódmej klasie szkoły podstawowej. W internecie, wśród obowiązujących wzorów znajduję ten niesłychanie ważny:
W Wikipedii znajduję też odpowiedni wykres
W notce dzisiejszej też będzie ruch jednostajnie przyśpieszony, tyle, że w szczególnej teorii względności. Jest to rozwinięcie poprzedniej notki „Teoria względności i wiecznej młodości” - gdzie temat ledwie zaanonsowałem, ale nawet go nie nadgryzłem.
No, troche nadgryzłem, bowiem wprowadziłem „czas własny”, bez którego rowerzysta podróżujący po krainie Względności Szczególnej obejść się nie może. Postraszyłem też trochę paradoksem bliźniąt. Dziś będę tym narzędziem (czasem własnym) się posługiwał tak jakby było ono w naszych genach od samego urodzenia.
Materiał który dziś przedstawię, to w gruncie rzeczy materiał z jednej strony z monografii Frolov, Zelnikov, Introduction to Black Hole Physics, Oxford University Press (2011). Na str 97 znajdujemy tam podrozdział 2.3.1 Uniformly accelerated motion – tak jak tytuł niniejszej notki. Nawet obrazek z tej strony niżej zaprezentuję. Rzeczy to są na tyle proste, że nawet kotka Pikabu słucha tego z zainteresowaniem.
W samej rzeczy Pikabu szczególnie interesuje się ruchem niejednostajnym i obrotowym opisywanym w formaliźmie wiązek włóknistych, tych głównych, bo ich właśnie używa spadając na cztery łapy (nie zawsze to spadanie tak dobrze wychodzi jak to w bajkach o tym opowiadają)
Pracujemy w układzie inercjalnym, współrzędne X0=cT,X1. W szkole zazwyczaj rysujemy oś czasu poziomo, zaś oś przestrzenna pionowo. W teorii względności zazwyczaj robi się odwrotnie: oś czasu (zatem i współrzędnej X0) jest pionowa, oś X1 jest pozioma. I my tak będziemy rysować.
Rozważmy historię ruchu punktu materialnego, nazywamy taką historię „linią świata”, opisywaną formułami poniżej, gdzie τ jest jakimś parametrem opisującym kolejne zdarzenia w historii naszego punktu (patrz Rys. 2.4 poniżej).
Zauważmy, że według naszej definicji ds czas własny mierzymy w metrach! Oczywiście zawsze możemy przejść do sekund dzieląc prze prędkość światła c.
Obliczamy teraz prędkość własną różniczkując po czasie własnym:
Oto odpowiedni fragment z książki „Wstęp do czarnych dziur”. Czytamy tam m.in.: Ruch w którym zarówno kierunek jak wartość przyśpieszenia pozostają stałe nazywa się ruchem jednostajnie przyśpieszonym:
Uwaga: W pierwotnej wersji tej notki mnapisałem: "We wzorze (2.3.3) autorzy ewidentnie zapomnieli minusa przy obliczaniu wartości w2." Jednak rsmc2 zwrócił moja uwagę na to, że autorzy używają przeciwnej sygnatury, mianowicie (-+++), niż moja. Zatem w książce nie ma błędu, to ja niedokładnie przeczytałem.
Ten fakt, że nasz punkt porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, z wartością przyśpieszenia równą a, nie zależy od tego z jakiego inercjalnego układu odniesienia ten ruch obserwujemy!
Przykładem takiego ruchu jest ruch naładowanej cząstki punktowej w stałym, jednorodnym, polu elektrycznym.
Można by sobie pomyśleć, że nasz ruch jest nie tylko jednostajnie przyśpieszony, lezc także jednostajny (byłaby to sprzeczność logiczna) - bowiem także wartość kwadratu prędkości jest stała (równa +1). Jednak trzeba pamiętać, że jest cztero-prędkość, a nie prędkość, i jej kwadrat jest zawsze równa +1 gdy trajektorię czasoprzestrzenną parametryzujemy czasem własnym. Ktoś mógłby zauważyć, że nasze przyśpieszenie też jest cztero-przyśpieszeniem a nie zwykłym przyśpieszeniem. Owszem, jednak warunek stałości jest w tym przypadku warunkiem nietrywialnym. W samej rzeczy ruch opisywany przez (1)i (2) jest ogólnym rozwiązaniem równania na ruch jednostajnie przyśpieszony, z dokładnością do położenia i prędkości początkowej.
P.S. O funkcjach hiperbolicznych sinh, cosh pisałem kiedyś w notce "Relatywistyczne składanie prędkości Cz. 3"
