Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
183 obserwujących
1387 notek
3344k odsłony
803 odsłony

Jedyność i istnienie (na przykładzie algebr Clifforda)

Wykop Skomentuj43

Czy możliwe jest by coś było jedyne a nie istniało? Czy też musi istnieć by mogło być jedynym? Takie to myśli przyszły mi do głowy gdy myślę (a aktualnie myślę) o algebrach Clifforda i o operatorach kreacji i anihilacji (po polsku także: tworzenia i niszczenia).

W zasadzie algebry Clifforda to rzecz niezwykle prosta. A myślę o nich, ponieważ już za tydzień odbędzie się 12-ta światowa konferencja: „The 12th International Conference on Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics”

image
Algebra Clifford to rzecz dziecinnie prosta do zdefiniowania. Kiedyś na tym blogu o nich pisałem, chodzą za mną. Dziś piszę od straony abstrakcji i piękna, a nie od strony zastosowań.

By móc mówić o algebrze Clifforda trzeba mieć przestrzeń wektorową (inaczej: przestrzeń liniową). Powiedzmy, że mamy taką przestrzeń, oznaczmy ją symbolem V Jej elementy nazywamy wektorami. Można sobie myśleć o wektorze jako o kolumience n liczb. Mogą to być liczby rzeczywiste lub zespolone. Można także myśleć o kolumience z nieskończoną ilością tych liczb – wtedy trzeba trochę uważać. Elementami V są wektory (kolumienki). Będę je oznaczał literami x,y,... Gdy n=3 i gdy są to kolumienki liczb rzeczywistych, wtedy., możemy myśleć o wektorach w 3-wymiarowej „naszej” przestrzeni. Ale n może być dowolne, nawet (jak wspomniałem} nieskończone.

By móc mówić o algebrze Clifforda, trzeba mieć dodatkowo symetryczną formę biliniową na V. Coś co oznaczamy symbolem B(x,y). Gdy x i y są kolumienkami, liczb, wtedy nasz forma biliniowa jest postaci:

B(x,y)= xT B y,

gdzie B jest macierzą kwadratową taką, że BT=B. Gdy V jest rzeczywiste, macierz B ma być rzeczywista, gdy V jest przestrzenią zespoloną, wtedy i macierz B jest zespolona. Dla naszej 3-wymiarowej przesztreni B(x,y) jest zwykłym iloczynem skalarnym wektorów x i y. Macierz B jest wtedy macierzą jednostkową Gdy V jest przestrzenią Minkowskiego, wtedy macierz B jest diagonalna i ma na diagonali (-1,1,1,1) lub (1,-1,-1,-1) – zależnie od przyjętej konwencji.

Mając V i B możemy już zdefiniować algebrę Clifforda dla pary (V,B). Najpierw jednak warto zdefiniować odwzorowanie Clifforda.

Definicja (algebra odwzorowania Clifforda)

Niech A będzie algebrą łączną z jednością

Jeśli V jest zespolona, to A winna być zespolona. Jeśli V jest rzeczywista, to A winna być rzeczywista (choć czasem rozważą się też A zespolone dla V rzecywistych). Odwzorowanie liniowe g z V w A nazywane jest odwzorowaniem Clifforda jeśli g ma własność:

g(x)g(y) + g(y)g(x) = 2 B(x,y) 1,

gdzie 1 po prawej stronie oznacza jedynkę (element neutralny) algebry A.


I teraz możemy już zdefiniować algebrę Clifforda.

Definicja (algebry Clifforda)

Algebrą Clifforda dla (V,B) nazywamy parę (C,gamma), gdzie gamma jest odwzorowaniem Clifforda z V w C, o następującej własności (własność uniwersalności:

Dla każdego odwzorowania Clifforda g z V w jakąś algebrę łączną z jednością A istnieje jedyny homomorfizm algebr za jednością f taki, że

g(x)=f(gamma(x))

dla każdego x z V.


No i już mamy definicję. Z definicji tej wynika, że algebra Clifforda dla pary (V,B) jest jedyna z dokładnością do izomorfizmu.

Pouczającą rzeczą jest przyjrzenie się jak się tej jedyności dowodzi.

Przypuśćmy, że mamy dwie algebry Clifford, (C,gamma) i (C',gamma'). Wtedy, z własności uniwersalności, kładąc A=C', weimy, że istnieje jedyny momomorfizm algebr f z C w C' taki, że

gamma'(x) = f(gamma(x))

dla wszystkich x.

Podobnie, ponieważ z założenia C' jest algebrą Clifford a gamma odwzorowaniem Clifforda, istnieje jedyny homomorfizm algebr f' z C' w C taki, że

gamma(x)=f'(gamma(x))

dla wszystkich x.

Z tych dwóch równości wnioskujemy, że

gamma(x)=f'(f(gamma(x)))

dla wszystkich x.

Oznaczmy

h(a) = f'(f(a)) gdzie a należy C

Wtedy h jest homomorfizmem z C w C takim, że

gamma(x) =h(gamma(x))   (*)

dla wszystkich x z V. Możemy zastosować właaność uniweralności do samej algebry C i do gamma, kładąc A=C i g=gamma. Wynika stąd, że h spełniające (*) ma być jedyne. Ale h równe odwzorowaniu identycznościowemu ma właśność (*). Stąd i h w (*) musi być homorfizmem identycznościowym. Wynika stąd, że f i f' są wzajemnei odwrotnymi izomorfizmami algebr z jednością, i dodatkowo splatają odwzorowania Clifford f' i f. Koniec dowodu

Zdefiniowaliśmy algebrę Clifforda i udowodniliśmy jedyność. Ale nie udowodniliśmy, że algebra Clifforda istnieje. Co komu po dowodzie jedyności bez istnienia? A co jeśli algebra Clifforda nie istnieje? Co jeśli zbiór algebra Clifforda jest zbiorem pustym? O elementach zbioru pustego można dowodzić wszystkiego. I wszystko będzie prawdą. Tyle, że pustą.

Spiewa pięknie o algebrze Clifforda Joe Dassin

A gdybyś nie istniała,
Powiedz, po co bym żył?



Wykop Skomentuj43
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie