Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
912
BLOG

Jedyność i istnienie (na przykładzie algebr Clifforda)

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 43

Czy możliwe jest by coś było jedyne a nie istniało? Czy też musi istnieć by mogło być jedynym? Takie to myśli przyszły mi do głowy gdy myślę (a aktualnie myślę) o algebrach Clifforda i o operatorach kreacji i anihilacji (po polsku także: tworzenia i niszczenia).

W zasadzie algebry Clifforda to rzecz niezwykle prosta. A myślę o nich, ponieważ już za tydzień odbędzie się 12-ta światowa konferencja: „The 12th International Conference on Clifford Algebras and Their Applications in Mathematical Physics”

image
Algebra Clifford to rzecz dziecinnie prosta do zdefiniowania. Kiedyś na tym blogu o nich pisałem, chodzą za mną. Dziś piszę od straony abstrakcji i piękna, a nie od strony zastosowań.

By móc mówić o algebrze Clifforda trzeba mieć przestrzeń wektorową (inaczej: przestrzeń liniową). Powiedzmy, że mamy taką przestrzeń, oznaczmy ją symbolem V Jej elementy nazywamy wektorami. Można sobie myśleć o wektorze jako o kolumience n liczb. Mogą to być liczby rzeczywiste lub zespolone. Można także myśleć o kolumience z nieskończoną ilością tych liczb – wtedy trzeba trochę uważać. Elementami V są wektory (kolumienki). Będę je oznaczał literami x,y,... Gdy n=3 i gdy są to kolumienki liczb rzeczywistych, wtedy., możemy myśleć o wektorach w 3-wymiarowej „naszej” przestrzeni. Ale n może być dowolne, nawet (jak wspomniałem} nieskończone.

By móc mówić o algebrze Clifforda, trzeba mieć dodatkowo symetryczną formę biliniową na V. Coś co oznaczamy symbolem B(x,y). Gdy x i y są kolumienkami, liczb, wtedy nasz forma biliniowa jest postaci:

B(x,y)= xT B y,

gdzie B jest macierzą kwadratową taką, że BT=B. Gdy V jest rzeczywiste, macierz B ma być rzeczywista, gdy V jest przestrzenią zespoloną, wtedy i macierz B jest zespolona. Dla naszej 3-wymiarowej przesztreni B(x,y) jest zwykłym iloczynem skalarnym wektorów x i y. Macierz B jest wtedy macierzą jednostkową Gdy V jest przestrzenią Minkowskiego, wtedy macierz B jest diagonalna i ma na diagonali (-1,1,1,1) lub (1,-1,-1,-1) – zależnie od przyjętej konwencji.

Mając V i B możemy już zdefiniować algebrę Clifforda dla pary (V,B). Najpierw jednak warto zdefiniować odwzorowanie Clifforda.

Definicja (algebra odwzorowania Clifforda)

Niech A będzie algebrą łączną z jednością

Jeśli V jest zespolona, to A winna być zespolona. Jeśli V jest rzeczywista, to A winna być rzeczywista (choć czasem rozważą się też A zespolone dla V rzecywistych). Odwzorowanie liniowe g z V w A nazywane jest odwzorowaniem Clifforda jeśli g ma własność:

g(x)g(y) + g(y)g(x) = 2 B(x,y) 1,

gdzie 1 po prawej stronie oznacza jedynkę (element neutralny) algebry A.


I teraz możemy już zdefiniować algebrę Clifforda.

Definicja (algebry Clifforda)

Algebrą Clifforda dla (V,B) nazywamy parę (C,gamma), gdzie gamma jest odwzorowaniem Clifforda z V w C, o następującej własności (własność uniwersalności:

Dla każdego odwzorowania Clifforda g z V w jakąś algebrę łączną z jednością A istnieje jedyny homomorfizm algebr za jednością f taki, że

g(x)=f(gamma(x))

dla każdego x z V.


No i już mamy definicję. Z definicji tej wynika, że algebra Clifforda dla pary (V,B) jest jedyna z dokładnością do izomorfizmu.

Pouczającą rzeczą jest przyjrzenie się jak się tej jedyności dowodzi.

Przypuśćmy, że mamy dwie algebry Clifford, (C,gamma) i (C',gamma'). Wtedy, z własności uniwersalności, kładąc A=C', weimy, że istnieje jedyny momomorfizm algebr f z C w C' taki, że

gamma'(x) = f(gamma(x))

dla wszystkich x.

Podobnie, ponieważ z założenia C' jest algebrą Clifford a gamma odwzorowaniem Clifforda, istnieje jedyny homomorfizm algebr f' z C' w C taki, że

gamma(x)=f'(gamma(x))

dla wszystkich x.

Z tych dwóch równości wnioskujemy, że

gamma(x)=f'(f(gamma(x)))

dla wszystkich x.

Oznaczmy

h(a) = f'(f(a)) gdzie a należy C

Wtedy h jest homomorfizmem z C w C takim, że

gamma(x) =h(gamma(x))   (*)

dla wszystkich x z V. Możemy zastosować właaność uniweralności do samej algebry C i do gamma, kładąc A=C i g=gamma. Wynika stąd, że h spełniające (*) ma być jedyne. Ale h równe odwzorowaniu identycznościowemu ma właśność (*). Stąd i h w (*) musi być homorfizmem identycznościowym. Wynika stąd, że f i f' są wzajemnei odwrotnymi izomorfizmami algebr z jednością, i dodatkowo splatają odwzorowania Clifford f' i f. Koniec dowodu

Zdefiniowaliśmy algebrę Clifforda i udowodniliśmy jedyność. Ale nie udowodniliśmy, że algebra Clifforda istnieje. Co komu po dowodzie jedyności bez istnienia? A co jeśli algebra Clifforda nie istnieje? Co jeśli zbiór algebra Clifforda jest zbiorem pustym? O elementach zbioru pustego można dowodzić wszystkiego. I wszystko będzie prawdą. Tyle, że pustą.

Spiewa pięknie o algebrze Clifforda Joe Dassin

A gdybyś nie istniała,
Powiedz, po co bym żył?



Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie