Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
185 obserwujących
1418 notek
3394k odsłony
517 odsłon

Pojedynek na wektory

Wykop Skomentuj38

Skąd taki tytuł? Otóż w notce będzie o przestrzeni liniowej V* sprzężonej do danej przestrzeni liniowej V. Inaczej V* nazywamy też przestrzenią dualną do V. Stąd przypomniało mi się rosyjskie słówko Дуэль (duel'). Tak jak na obrazku poniżej 

image

Дуэль Александра Гамильтона с Аароном Бёрром

Walka dwóch przeciwników. W języku polskim z jakiegoś powodu nazywa się to pojedynkiem. Pojedynek Achillesa z Hektorem.

image

Pewnie dlatego, że “jeden na jednego”? Nie wiem. Dziwny jest ten polski język. Bardziej mi się podoba “Le duel”, “The duel”, “Der Zweikampf” - walczą dwie strony.image

W poprzednich notakach zalecałem czytelnikom zaglądanie do wykładów prof. Andruszkiewicza z Algebry Liniowej dla kierunków Informatyka I Ekonometria

Pojęcie “przestrzeni sprzężonej” pojawia się tam w wykładzie 12.

Pojawia się tam ono już po omówieniu odwzorowań liniowych. My zdefiniujemy to niezwykle ważne pojęcie od samego początku. Bedę przy tym używał terminu “przestrzeń dualna” a nie “przestrzeń sprzężona” - tak mi się bardziej podoba. Gdy V jest przestrzenią liniową (patrz notka ), gdy jej elementy nazywamy “wektorami”, wektory przestrzeni dualnej V*, którą za chwilę zdefiniujemy, nazywamy czasem “kowektorami”, albo “wektorami kowariantnymi”. Czasem nazywamy też “formami liniowymi” lub po prostu “formami”.

Definicja: Gdy V jest przestrzenią liniową (nad ciałem liczb rzeczywistych R), to V* jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych na V o wartościach rzeczywistych. Funkcja f: V → R nazywana jest funkcjonałem liniowym gdy

f( α a + β b) = α f(a)+ β f(b)

dla wszystkich α,β ∊ R, a,b ∊ V.

Takie f przyporządkowuje każdemu waktorowi liczbę rzeczywistą, jakby w jakimś sensie “mierzy” ten wektor. Jednak nie mierzy w ten sposób jak mierzy długość. Bowiem długość sumy wektorów nie jest na ogoł równa sumie długości. Natomiast nasze f od sumy jest sumą f-ów. Nasze f to raczej coś w rodzaju składowej wektora w jakiejś bazie: składowa sumy jest sumą składowych. Możemy napisać symbolicznie:

V* = {f:V → R: f( α a + β b) = α f(a) + β f(b), ∀ (a,b ∊ R), (α, β ∊ V)}

Na razie V* jest po prostu zbiorem. Definiujemy jednak w V*, w sposób całkiem naturalny dodawanie f+g i mnożenie przez skalar αf. Dla f,g z V*, oraz α z R, definiujemy

(f+g)(a) = f(a)+g(a),

(αf)(a) = α f(a).

Proste ćwiczenie pokazuje, że tak zdefiniowana suma f+g dwóch funkcjonałów liniowych f,g jest znów funkcjonałem liniowym, zaś tak zdefiniowany iloczyn funkcjonału f przez skalar α jest znów funkcjonałem liniowym. Definiujemy funkcjonał liniowy 0 jako 0(a) = 0 dla każdego a. Znów proste ćwiczenie prowadzi nas do wniosku, że z tak zdefiniowanymi działaniami V* spełnia osiem aksjomatów przestrzeni liniowej. Jest więc przestrzenią liniową. I to jest właśnie ta przestrzeń dualna.

Z tym, że z tą dualnością to jest trochę dziwnie. Bowiem V* jest sama przestrzenią liniową, zatem ma swoją własną dualną V**. Ciekawe jest to, że każdy wektor z V można uważać za element V**. Jeśli bowiem a jest takim wektorem, to możemy zdefiniować jak a “mierzy” elementy z V*:

a(f) = f(a)

Znów proste ćwiczenie pokazuje, że

a(f+g) = a(f)+a(g)

a(αf) = α a(f)

Mamy zatem odwzorowanie V → V**. Odwzorowanie to jest liniowe. Ciekawie robi się jednak dopiero gdy zaczniemy bawić się bazami. Pojęcie bazy w przetrzeni liniowej V wprowadzilismy w poprzedniej notce. Baza to zbiór wektorów liniowo niezależnych o tej własności, że każdy wektor naszej przestrzeni jest liniową kombinacja skończonej liczby wektorów z bazy.

W wykładach prof. Andruszkiewicza możmy znaleźć dowody dwu ważnych własności bazy:

Każda przestrzeń wektorowa V posiada bazę (Tw. 7.3 wykład 7)

Jeśli e1,...,en jest bazą w V, to każda inna baza w V składa się także z n wektorów. (Wniosek 7.15 wykład 7)

Prypuśćmy teraz, że X jest zbiorem wektorów w V stanowiącym bazę w V. Każdy wektor a z V jest zatem skończoną kombincją liniową wektorów z X. Co więcej, każdy wektor a rozkłada się na wektory z bazy w jeden tylko sposób. Gdyby bowiem rozkładał się na dwa różne sposoby, wtedy róznica tych sposobów byłaby wektorem zerowym. Zaś wektory bazowe są z założenia liniowo niezależne, zatem wektor zerowy rozkłada się na nie na jeden tylko sposób – z zerowymi współczynnikami.

Niech X⊂V będzie zatem bazą i niech f ∊ V*. Zauważmy, że gdy znamy wartości f dla każdego x z X, to znamy wartości f na każdym innym wektorze, a to z faktu, że każdy wektor a rozkłada się jednoznacznie na skończoną kombinacje liniową wektorów z X, zaś f jest funkcjonałem liniowym.

Jeśli a = α1 x1+.... αn xn, to

f(a)= α1 f(x1)+....+ αn f(xn)

Niech {eι : ι ∊ I} będzie bazą w V. Zbiór I indeksujący bazę nie musi być skończony, zatem dopuszczamy przypadek gdy V jest nieskończenie wymiarowe. Dle każdego ι ∊ I definiujemy funkcjonał liniowy oznaczany przez eι i zdefiniowany przez swe wartości na wektorach bazowych jako

eι (eκ) = δικ gdzie

δικ = 1 gdy ι = κ oraz =0 gdy ι ≠ κ

Innym słowem eι(a) jest współczynnikiem aι przy rozkładzie wektora a na wektory bazy eι. Wektory eι są elementami przestrzeni dualnej. Nietrudno się przekonać o tym, że stanowią układ wektorów liniowo niezależnych. Gdy V jest skończenie wymiarowe, wtedy użyjemy innego zapisu. Mamy wtedy bazę ei, i=1,...,n, w V. Mamy też wektory liniowo niezależne e1,...,en w V*.

Każdy wektor a w V rozkłada się jednoznacznie na wektory bazowe

a = a1 e1+...+an en.

Gdy f jest elementem z V*, wtedy

f(a) = Σ ai f(ei) = Σ ei(a) f(ei)= Σ (f(ei)ei) (a)

Stąd

f = Σ f(ei)ei

Zatem ei jest bazą w V*. Nazywamy ją bazą dualną do bazy ei. W szczególności wynika stąd, że gdy V jest skończenie wymiarowa i ma wymiar n, to przestrzeń dualna też jest skończenie wymiarowa i ma ten sam wymiar n. Gdy V jest nieskończenie wymiarowa i f należy do V*, nie mamy gwarancji, że f jest różne od zera jedynie na skończonej ilości wektorów bazy eι.

Zauważmy jeszcze jedno, mianowicie, że dla każdego różnego od zera a z V istnieje f z V* takie, że f(a) ≠ 0. Istotnie, wynika to z faktu istnienia bazy. Istnieje przynajmniej jeden wektor eι bazy przy którym współczynnik aι rozkładu a na wektory bazowe jest różny od zera. Wtedy eι jest elementem z V* oraz eι (a) = aι ≠ 0.

Przedtem zauważyliśmy, że każdy wektor a z V definiuje funkcjonał liniowy na V*:

a(f) ≝ f(a)

Mamy w ten sposób odwzorowanie liniowe V → V**. Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli bowiem a jest różne od zera, to istnieje f z V* takie, że a(f)=f(a) jest różne od zera. Zatem V możemy uważać za podzbiór (podprzestrzeń) zbioru (przestrzeni) V**. Piszemy

V ⊂ V**.

Gdy V jest skończenie wymiarowe, wtedy V i V** mają ten sam wymiar i każdy element przestrzeni V** jest obrazem pewnego elementu z V. Możemy wtedy V i V** wręcz utożsamić ze sobą. Przestrzeń dualna do dualnej “jest” pierwotną przestrzenią. Ładne to. Gdy V jest nieskończenie wymiarowe, wtedy rzeczy się mogą komplikować.

Wkrótce spotkamy się z przypadkiem przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Jednak chytrze te czyhające na nas komplikacje obejdziemy.

Z faktu, że na początku notki w pojedynkach ("duelach") pokazałem tylko mężczyzn jako uczestników nie nalezy wyciagac wniosku, że tylko mężczyźni walczą. Kobiety też walczą (czasem ze sobą a czasem o swoje prawa)

image

Kobiety sa dobrym przykładem przestrzeni nieskończenie-wymiarowych. Jednak w tym przypadku istotna staje się ciągłość i gładkość i, ogólniej, topologia. Będziemy o tym mówić w kolejnych notkach.

Wykop Skomentuj38
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie