Skąd taki tytuł? Otóż w notce będzie o przestrzeni liniowej V* sprzężonej do danej przestrzeni liniowej V. Inaczej V* nazywamy też przestrzenią dualną do V. Stąd przypomniało mi się rosyjskie słówko Дуэль (duel'). Tak jak na obrazku poniżej
Дуэль Александра Гамильтона с Аароном Бёрром
Walka dwóch przeciwników. W języku polskim z jakiegoś powodu nazywa się to pojedynkiem. Pojedynek Achillesa z Hektorem.
Pewnie dlatego, że “jeden na jednego”? Nie wiem. Dziwny jest ten polski język. Bardziej mi się podoba “Le duel”, “The duel”, “Der Zweikampf” - walczą dwie strony.
W poprzednich notakach zalecałem czytelnikom zaglądanie do wykładów prof. Andruszkiewicza z Algebry Liniowej dla kierunków Informatyka I Ekonometria
Pojęcie “przestrzeni sprzężonej” pojawia się tam w wykładzie 12.
Pojawia się tam ono już po omówieniu odwzorowań liniowych. My zdefiniujemy to niezwykle ważne pojęcie od samego początku. Bedę przy tym używał terminu “przestrzeń dualna” a nie “przestrzeń sprzężona” - tak mi się bardziej podoba. Gdy V jest przestrzenią liniową (patrz notka ), gdy jej elementy nazywamy “wektorami”, wektory przestrzeni dualnej V*, którą za chwilę zdefiniujemy, nazywamy czasem “kowektorami”, albo “wektorami kowariantnymi”. Czasem nazywamy też “formami liniowymi” lub po prostu “formami”.
Definicja: Gdy V jest przestrzenią liniową (nad ciałem liczb rzeczywistych R), to V* jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych na V o wartościach rzeczywistych. Funkcja f: V → R nazywana jest funkcjonałem liniowym gdy
f( α a + β b) = α f(a)+ β f(b)
dla wszystkich α,β ∊ R, a,b ∊ V.
Takie f przyporządkowuje każdemu waktorowi liczbę rzeczywistą, jakby w jakimś sensie “mierzy” ten wektor. Jednak nie mierzy w ten sposób jak mierzy długość. Bowiem długość sumy wektorów nie jest na ogoł równa sumie długości. Natomiast nasze f od sumy jest sumą f-ów. Nasze f to raczej coś w rodzaju składowej wektora w jakiejś bazie: składowa sumy jest sumą składowych. Możemy napisać symbolicznie:
V* = {f:V → R: f( α a + β b) = α f(a) + β f(b), ∀ (a,b ∊ R), (α, β ∊ V)}
Na razie V* jest po prostu zbiorem. Definiujemy jednak w V*, w sposób całkiem naturalny dodawanie f+g i mnożenie przez skalar αf. Dla f,g z V*, oraz α z R, definiujemy
(f+g)(a) = f(a)+g(a),
(αf)(a) = α f(a).
Proste ćwiczenie pokazuje, że tak zdefiniowana suma f+g dwóch funkcjonałów liniowych f,g jest znów funkcjonałem liniowym, zaś tak zdefiniowany iloczyn funkcjonału f przez skalar α jest znów funkcjonałem liniowym. Definiujemy funkcjonał liniowy 0 jako 0(a) = 0 dla każdego a. Znów proste ćwiczenie prowadzi nas do wniosku, że z tak zdefiniowanymi działaniami V* spełnia osiem aksjomatów przestrzeni liniowej. Jest więc przestrzenią liniową. I to jest właśnie ta przestrzeń dualna.
Z tym, że z tą dualnością to jest trochę dziwnie. Bowiem V* jest sama przestrzenią liniową, zatem ma swoją własną dualną V**. Ciekawe jest to, że każdy wektor z V można uważać za element V**. Jeśli bowiem a jest takim wektorem, to możemy zdefiniować jak a “mierzy” elementy z V*:
a(f) = f(a)
Znów proste ćwiczenie pokazuje, że
a(f+g) = a(f)+a(g)
a(αf) = α a(f)
Mamy zatem odwzorowanie V → V**. Odwzorowanie to jest liniowe. Ciekawie robi się jednak dopiero gdy zaczniemy bawić się bazami. Pojęcie bazy w przetrzeni liniowej V wprowadzilismy w poprzedniej notce. Baza to zbiór wektorów liniowo niezależnych o tej własności, że każdy wektor naszej przestrzeni jest liniową kombinacja skończonej liczby wektorów z bazy.
W wykładach prof. Andruszkiewicza możmy znaleźć dowody dwu ważnych własności bazy:
Każda przestrzeń wektorowa V posiada bazę (Tw. 7.3 wykład 7)
Jeśli e1,...,en jest bazą w V, to każda inna baza w V składa się także z n wektorów. (Wniosek 7.15 wykład 7)
Prypuśćmy teraz, że X jest zbiorem wektorów w V stanowiącym bazę w V. Każdy wektor a z V jest zatem skończoną kombincją liniową wektorów z X. Co więcej, każdy wektor a rozkłada się na wektory z bazy w jeden tylko sposób. Gdyby bowiem rozkładał się na dwa różne sposoby, wtedy róznica tych sposobów byłaby wektorem zerowym. Zaś wektory bazowe są z założenia liniowo niezależne, zatem wektor zerowy rozkłada się na nie na jeden tylko sposób – z zerowymi współczynnikami.
Niech X⊂V będzie zatem bazą i niech f ∊ V*. Zauważmy, że gdy znamy wartości f dla każdego x z X, to znamy wartości f na każdym innym wektorze, a to z faktu, że każdy wektor a rozkłada się jednoznacznie na skończoną kombinacje liniową wektorów z X, zaś f jest funkcjonałem liniowym.
Jeśli a = α1 x1+.... αn xn, to
f(a)= α1 f(x1)+....+ αn f(xn)
Niech {eι : ι ∊ I} będzie bazą w V. Zbiór I indeksujący bazę nie musi być skończony, zatem dopuszczamy przypadek gdy V jest nieskończenie wymiarowe. Dle każdego ι ∊ I definiujemy funkcjonał liniowy oznaczany przez eι i zdefiniowany przez swe wartości na wektorach bazowych jako
eι (eκ) = δικ gdzie
δικ = 1 gdy ι = κ oraz =0 gdy ι ≠ κ
Innym słowem eι(a) jest współczynnikiem aι przy rozkładzie wektora a na wektory bazy eι. Wektory eι są elementami przestrzeni dualnej. Nietrudno się przekonać o tym, że stanowią układ wektorów liniowo niezależnych. Gdy V jest skończenie wymiarowe, wtedy użyjemy innego zapisu. Mamy wtedy bazę ei, i=1,...,n, w V. Mamy też wektory liniowo niezależne e1,...,en w V*.
Każdy wektor a w V rozkłada się jednoznacznie na wektory bazowe
a = a1 e1+...+an en.
Gdy f jest elementem z V*, wtedy
f(a) = Σ ai f(ei) = Σ ei(a) f(ei)= Σ (f(ei)ei) (a)
Stąd
f = Σ f(ei)ei
Zatem ei jest bazą w V*. Nazywamy ją bazą dualną do bazy ei. W szczególności wynika stąd, że gdy V jest skończenie wymiarowa i ma wymiar n, to przestrzeń dualna też jest skończenie wymiarowa i ma ten sam wymiar n. Gdy V jest nieskończenie wymiarowa i f należy do V*, nie mamy gwarancji, że f jest różne od zera jedynie na skończonej ilości wektorów bazy eι.
Zauważmy jeszcze jedno, mianowicie, że dla każdego różnego od zera a z V istnieje f z V* takie, że f(a) ≠ 0. Istotnie, wynika to z faktu istnienia bazy. Istnieje przynajmniej jeden wektor eι bazy przy którym współczynnik aι rozkładu a na wektory bazowe jest różny od zera. Wtedy eι jest elementem z V* oraz eι (a) = aι ≠ 0.
Przedtem zauważyliśmy, że każdy wektor a z V definiuje funkcjonał liniowy na V*:
a(f) ≝ f(a)
Mamy w ten sposób odwzorowanie liniowe V → V**. Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, jeśli bowiem a jest różne od zera, to istnieje f z V* takie, że a(f)=f(a) jest różne od zera. Zatem V możemy uważać za podzbiór (podprzestrzeń) zbioru (przestrzeni) V**. Piszemy
V ⊂ V**.
Gdy V jest skończenie wymiarowe, wtedy V i V** mają ten sam wymiar i każdy element przestrzeni V** jest obrazem pewnego elementu z V. Możemy wtedy V i V** wręcz utożsamić ze sobą. Przestrzeń dualna do dualnej “jest” pierwotną przestrzenią. Ładne to. Gdy V jest nieskończenie wymiarowe, wtedy rzeczy się mogą komplikować.
Wkrótce spotkamy się z przypadkiem przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Jednak chytrze te czyhające na nas komplikacje obejdziemy.
Z faktu, że na początku notki w pojedynkach ("duelach") pokazałem tylko mężczyzn jako uczestników nie nalezy wyciagac wniosku, że tylko mężczyźni walczą. Kobiety też walczą (czasem ze sobą a czasem o swoje prawa)
Kobiety sa dobrym przykładem przestrzeni nieskończenie-wymiarowych. Jednak w tym przypadku istotna staje się ciągłość i gładkość i, ogólniej, topologia. Będziemy o tym mówić w kolejnych notkach.
Komentarze