Dziś o wektorach. Tych stycznych. Do n-wymiarowych rozmaitości. To straszne. To trudne, to nieprzyzwoite, to dalekie od fizyki, i w ogóle chore (mam takie informacje). Mimo to dzisiejsza notka będzie jednak o wektorach. Wektory są ostre, jak te sztachety z płotu
Wlazł kotek na płotek i mruga
Taka to piosenka niedługa
Niedługa, niekrótka, lecz w sam raz
Zaśpiewaj koteczku jeszcze raz
My jednak przejdziemy się obok nich ostrożnie, przyjrzymy się im z bliska. Nie długo, nie krótko, lecz w sam raz. Bowiem bez wektorów ani rusz. Bez wektorów (no, tych cztero-wektorów) nawet tajemnicze i enigmatyczne neutrina oscylować nie będą.
Przede wszystkim potrzebny jest zbiór. Zbiór punktów. Gdy rozmawiamy o czasoprzestrzeni, tym zbiorem jest zazwyczaj “zbiór zdarzeń” składajacy się na “czasoprzestrzeń” (tę płaską Minkowskiego, lub jakąś pokrzywioną przez reumatyzm i przez grawitację). Oczywiście nie idzie o zdarzenia prawdziwe, realne, bowiem w tej całej czasoprzestrzeni mamy też zdarzenia przyszłe, które jeszcze nie zaszły, a może i nigdy nie zajdą. Idzie raczej o zdarzenia “potencjalne”, z jakiegoś matematyczno-platonicznego świata, od fizyki, tej niematycznej, bardzo odległego. Zdarzeniom, od czasów Alberta Einsteina, przypisuje się zazwyczaj cztery współrzędne. Ważne jest “kiedy” (jedna współrzędna) i “gdzie”? Jednak czemu tak ubogo? Z historycznego przyzwyczajenia? Z braku wyobraźni? Przecież skoro zdarzenia są jedynie potencjalne, to możemy je wyposażać w wiele najrozmaitszych potencjalnych właściwości. Czemu tylko kiedy i gdzie? A czy zdarzenie nie może mieć smaku i koloru? Czy nie może mieć informacji o przekazanej w tym zdarzeniu energii, pędzie, informacji? Może. Tym zajmują się fizycy z wiedzą i z wyobraźnią większą niż ta potrzebna do tego by zajmować się oscylacjami neutrin. Nawet sam wielki Einstein tego przed Drugą Wojną Światową próbował, gdy się jeszcze tego nie wstydził.
Ale my przecież nie o tym, my o kotach na płotach i o ostrych wektorach.
Więc mamy nasz zbiór, powiedzmy M. I mamy jakąś algberę funkcji (przemienną, z jednością), oznaczmy ją literką F, o wartościach rzeczywistych, określonych na tym zbiorze. Tak jak to było w poprzedniej notce. Tyle, że tam nasz zbiór M wyposażaliśmy w siatki współrzędnych i w mapy, a dziś pozwolimy sobie na więcej luzu i, póki co ani od zbioru M ani od algebry funkcji F więcej wymagać nie będziemy. Punkty tego zbioru trzeba oznaczać jakimiś literkami, na przykład p jest dobrą literką.
I teraz, od razu, możemy wskoczyć na płot, I zaśpiewać. Natchnienie przyszło gdy ubierałem Einsteina (mój prezent na niedawne urodziny), a wykonanie zapożyczyłem z leżącęgo obok podręcznika.
Definicja: Wektorem stycznym do M w punkcie p nazywamy liniowe odwzorowanie X: F → R o własności
X(fg) = X(f) g(p) + f(p) X(g)
dla dowolnych funkcji f,g z algebry F.
Wektor X, styczny do M w punkcie p, przyporządkowuje każdej funkcji liczbę, coś jakby pochodną tej funkji w tym punkcie w danym kierunku. I o to dokładnie idzie. Tak ma być. Zazwyczaj pochodną funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem f '(p). Pamiętając o tym widzimy, że ta właność powyżej to nic innego niż reguła obliczania pochodnej z iloczynu dwóch funkcji! Łatwe do zapamiętania!
A teraz już proste ćwiczenia:
1) Udowodnić, że zbiór wektorów stycznych do M w punkcie p, z naturalnymi działaniami składania i mnożenia przez skalar, jest przestrzenią liniową (spełnia osiem aksjomatów przestrzeni liniowej)
2) Założmy, że zbiór M składa się z dwóch tylko punktów, 1 i 2. Niech F będzie algebrą wszystkich funkcji na tym dwupunktowym zbiorze. Udowodnić, że przestrzeń wektorów stycznych do M w punkcie 1 jest zero-wymiarowa.
Oczywiście żaden szanujacy się fizyk od neutrin tych ćwiczeń nie zrobi, a to z powodu wrodzonego lenistwa. Jednak niechaj żywi nie tracą nadziei. A kiedy trzeba, na śmierć idą po kolei,
Komentarze