Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk
689
BLOG

Mgły, liczby zespolone, linie i koła

Arkadiusz Jadczyk Arkadiusz Jadczyk Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 32

Samolot na dębie wisi
W okaleczeniach licznych.
Otoczyły go liście, jak gapiowie cisi,
Jak dobra publiczność - - -
Mgła rozdziera szaty na sosnach,
Winowajczyni żałosna.

Maria Pawlikowska-Jasnorzewska, „Śpiąca załoga” 1933

image


No tak, nie samolot to a wrony, no i nie na sosnach. Ale mgła jest, autentyczna.

I tak było dzisiejszego ranka, i tak jest dzisiejszego wieczoru. Dzień miał być teoretycznie słoneczny. I zapewne był, ale nie u mnie. Zbyt blisko mnie płynie rzeka Garonna.


To przez tę bliskość rzeki słońca u mnie o wiele mniej niż w odległej o 70 km Tuluzie

Teoretycznie miałem pisać o potokach pół wektorowych. Z potoku zrobiła się rzeka, z rzeki zrobiła się mgła, a z mgły wypłynęło koło uczniowskie i liczby zespolone. I dzielenie okręgu na równe części. A potoki pól wektorowych będą – nie uciekną.

W liceum na kole będą na pewno liczby zespolone. A może już były? Takie jak z=1+2i. Licealista nauczy się mnożyć (1+i)(1+2i). Nauczy się dzielić (1+i)/(1+2i). Dowie się, że są liczby sprzężone – sprzężona do 1+i to 1-i, przekona się, że iloczyn liczby przez liczbę sprzężoną jest liczbą rzeczywistą, nieujemną. Co pomoże licealiście w dzieleniu i w obliczeniu ile to jest (1+i)/(1+2i).

Liczby zespolone to algebra. Ale blisko jest geometria. Liczbę zespoloną przedstawiamy jako punkt na płaszczyźnie (x,y). Liczbę 1+2i przedstawiamy jako punkt x=1,y=2.

Zadanie; przy użycia cyrkla i linijki narysowć n-kąt formny wpisany w okrąg. Da się to zrobić czy nie?

image

Dla n=6 każdy chyba to potrafi.

image

A dla innych n? Siedmiokąt? Do dziś nie wiedziałem jak na to pytanie odpowiedzieć. Ale życie zmusiło mnie do zabrania się do nauki o polach skończonych (każdy specjalista od kryptografii to wie, a ja nie mam o tym pojęcia). I trafiłem na taki problem, który niniejszym podaję. Będziemy go razem rozwiązywać.

Mamy najpierw oznaczenia: R2  - płaszczyzna rzeczywista, C – płaszczyzna zespolona (niby to samo, ale w R2 rysujemy pary liczb rzeczywistych, zaś w C rysujemy punkty reprezentujące liczby zespolone.

Powiedzmy, że M to jest jakiś zbiór punktów płaszczyzny. Przez CyrL(M) oznaczmy zbiór tych wszystkich punktów, które można otrzymać z M przy pomocy cyrkla i linijki. Te punkty konstruujemy na trzy elementarne sposoby. Niech

Li(M) – zbiór prostych łączących punkty M
Ci(M) zbiór okręgów o środkach w punktach M

Nowe punkty mogą powstać przez: przecięcie dwóch linii z Li(M), przez przecięcie okręgu z Ci(M() z linią z Li(M), przez przecięcie dwóch okręgów z Ci(M).

Zadanie: Niech M będzie zbiorem punktów na płaszczyźnie do którego należą liczby 0 i 1. Udowodnić, że

1) i należy do CyrL(M)
2) Jeśli z należy do CyrL(M) to z sprzężone też należy do CyrL(M)
3) Jeśli z =x+iy należy do CyrL(M) to x i y (część rzeczywista i urojona liczby z) należy do CyrL(M)
4) Jeśli z należy do CyrL(M) to -z też należy do CyrL(M)
5) Jeśli z i z' należą do CyrL(M) to z+z' też należy do CyrL(M)
6) Jeśli z i z' należą do CyrL(M) to zz' też należy do CyrL(M)
7) Jeśli z należy do CyrL(M) i z nie jest zerem, to 1/z też należy do CyrL(M)

Jak tego dowieść? Pewne punkty wydają się łatwe, inne trudniejsze. W sam raz na koło. A ja zabieram się do kontynuowania nauki. Chcę rozgryźć ten eksponencjał  dla pól skończonych.

Naukowiec, zainteresowany obrzeżami nauki. Katalog SEO Katalog Stron map counter Życie jest religią. Nasze życiowe doświadczenia odzwierciedlają nasze oddziaływania z Bogiem. Ludzie śpiący są ludźmi małej wiary gdy idzie o ich oddziaływania ze wszystkim co stworzone. Niektórzy ludzie sądzą, że świat istnieje dla nich, po to, by go pokonać, zignorować lub zgasić. Dla tych ludzi świat zgaśnie. Staną się dokładnie tym co dali życiu. Staną się jedynie snem w "przeszłości". Ci co baczą uważnie na obiektywną rzeczywistość wokół siebie, staną się rzeczywistością "Przyszłości" Lista wszystkich wpisów  

Nowości od blogera

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie