Dziś pierwsza przymiarka do malowania przestrzeni wektorów stanu kubitu (czy kubita?). Kiedyś nazywało się to spinem, ale przyszły nowe czasy i nowa terminologia: covidy, qubity, cubasy ... Te ostatnie to oczywiście żarty, bo cubase jest stare jak Steinberg (nie mylić ze Steinwayem).
Cubase to program ułatwiający komponowanie muzyki, muzyka - to muzyka sfer. A sfery, te dwu-wymiarowe trójwymiarowe, to temat tej i następnych notek. W poprzedniej notce "Kwantowy kubit na warsztacie" napisałem, że wektory reprezentujące stan takiego elementarnego układu kwantowego są wektorami w dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni Hilberta, unormowanymi do jedności. Doszliśmy do tego, że taki wektor to para liczab zespolonych Ψ= [α, β], przy czym |α|2 + |β|2 = 1 (warunek normowania). Zapisaliśmy
α = X + iY
β = Z + iW
gdzie X,Y,Z,W są liczbami rzeczywistymi. Wtedy warunek normowania to
X2 + Y2 + Z2 + W2 = 1 (*)
Gdybyśmy mieli tylko X2 + Y2 + Z2 = 1, byłoby to równanie dwu-wymiarowej sfery w trójwymiarowej przestrzeni. A tak jak jest, mamy równanie trój-wymiarowej sfery w cztero-wymiarowej przestrzeni. Dlaczego cztero-wymiarowa? Bo potrzebujemy czterech współrzędnych: X,Y,Z,W. Dlaczego trój-wymiarowa"? Bo na te cztery współrzędne jest narzucone jedno równanie, a 4-1 = 3. Trzema współrzędnymi możemy w miarę swobodnie poruszać, wtedy czwartą jakoś tam wyliczymy z naszgo równania.
Dziś zajmiemy się zapisaniem punktów na naszej sferze przez trzy współrzędne kątowe. Tak jak punkty na dwu-wymiarowej sferze reprezentujemy przez dwie wspołrzędne kątowe: szerokość i długość geograficzną. Moglibyśmy uogólniać szerokość i długość, wprowdzać dwie długości, ale zrobimy trochę inaczej. Bowiem nasze cztery współrzędne pochodzą z dwóch par, i warto to pochodzenie wziąć pod uwagę. Wprowadzimy więc współrzędne kątowe "na piechotę", metodą "autorską". Jak nasze współrzędne mają się do tych z Wikipedii? To by trzeba było kiedyś zbadać, bo na pewno jakoś się mają..... Tylko po co nam to? Dziś wszystko staje się kwantowe, więc i parametryzacja sfery powinna być kwantowa.
Dygresja: tu pochwalę się, że jako pierwszy wprowadziłem hasło "Kwantowa przyszłość". Mój pierwszy grant, z roku 1991, nazywał się "Ku kwantowej teorii przyszłości. Kwantowa geometria i informacja" Dostałem wtedy na ten projekt 25 milionów złotych. Z tego 12 milionów na "Wykonanie obliczeń symbolicznych i analiza uzyskanych wyników: geometryczna interpretacja równania Schrodingera", i 13 milionów na "Geometryczne podstawy równania Schrodingera. Czas jako ciągła reguła nadwyboru. Zakończenie obliczeń, opracowanie i publikacja rezultatów." Pensja profesora w tym czasie wynosiiła nieco ponad 2 miliony złotych. Oczywiście komputery w tym czasie były o nieba droższe niż dzisiaj. Koniec dygresji.
Przyjrzyjmy się najpierw zmiennym X,Y pochodzącym od α = X + iY.
Z równania (*) widzimy, że zapisując X,Y we wspórzędnynch biegunowych
X = r cos ( ψ)
Y = r sin ( ψ)
mamy 0 ≤ r ≤ 1. Funkcja sinus w przedzile od zera do π/2 przyjmuje wartości od zera do 1 i tylko jeden raz. Wprowadźmy zatem kąt φ, 0 ≤ φ ≤ π, i zapiszmy r = sin (φ/2). Mamy więc
X = sin (φ/2) cos ( ψ)
Y = sin (φ/2) sin ( ψ)
Podobnie zróbmy z Z i W. Wprowadzamy współrzędne biegunowe, tylko tym razem kątowi nadajemy nazwę theta:
Z= r' cos (θ)
W= r' sin (θ)
Teraz, jak poprzednio, 0 ≤ r ≤ 1, jednak warunek (*) mówi nam, że r2 +r'2 =1, czyli r' musi się równać r'= cos (φ/2). Otrzymujemy więc
Z= cos (φ/2) cos ( θ)
W = cos (φ/2) sin ( θ)
Ze względów, które się wkrótce wyjaśnią, te równania nam się nie podobają. Estetycznie sa OK. Jednak fizyka, przynajmniej ta dziesiejsza, poprosi się o lekką modyfikację. Mianowicie kąt θ liczymy od 0 do 2π. Ale przecież możemy go też liczyć od ψ do ψ + 2π! I tak okaże się wygodniej, bardziej "kwantowo" - jak zobaczymy w następnej notce. Zapiszmy zatem tak
Z= cos (φ/2) cos ( θ+ψ)
W = cos (φ/2) sin ( θ+ψ)
Otrzymujemy więc parametryzację naszej sfery S3:
X = sin (φ/2) cos ( ψ)
Y = sin (φ/2) sin ( ψ)
Z= cos (φ/2) cos ( θ+ψ)
W = cos (φ/2) sin ( θ+ψ)
Przy tym
0 ≤ φ ≤ π,
0 ≤ θ,ψ ≤ 2π
W następnej notce będziemy tę sferę malować. Przy użyciu komercyjnych programów jak Mathematica czy Maple jest to niezmiernie proste. Mam nadzieję, że do następnej notki opanuję malowanie tej sfery przy użyciu darmowego MathMod., któryn potrafi tak pięknie malować powierzchnię Steinera
