Lustro, jak wiemy, zamienia prawe na lewe i lewe na prawe. Ale góry z dołem nie zamienia. Dziwne są te lustra. A może to nie lustra są dziwne a nasz umysł? Mówi się: o "zwierciadle umysłu..." - podobno jest ono niebezpieczne. Jak i zresztą przechodzenie przez jezdnię.
Dwa dni temu poczta przyniosła mi zamówioną książkę: François Vannucci, "Le Miroir aux neutrinos ", Odile Jacob, 2003.
Zwierciadło z neutrin. Neutrina mogą być prawo-skrętne i lewo-skrętne. Ale te prawo-skrętne gdzieś z naszego wszechświata wymiotło. Podobnie jak prawie całą antymaterię. Musi być zatem gdzieś równoległy do naszego zwierciadlany wszechświat. Od czasu do czasu pomiędzy tymi dwoma wszechświatami następują przebicia, jak w kondensatorze.
Ale wracając do książki. Vannucci, autor książki, "François Vannucci est professeur au laboratoire de physique nucléaire et des hautes énergies de l’université Paris-VII", zaczyna przedmowę do książki od zacytowania z Pierwszego Listu do Koryntian, wiersz 12:
"11. Gdy byłem dzieckiem, mówiłem jak dziecko, czułem jak dziecko, myślałem jak dziecko. Kiedy zaś stałem się mężem, wyzbyłem się tego, co dziecięce.
12. Teraz widzimy jakby w zwierciadle, niejasno; wtedy zaś [zobaczymy] twarzą w twarz: Teraz poznaję po części, wtedy zaś poznam tak, jak i zostałem poznany.
13. Tak więc trwają wiara, nadzieja, miłość - te trzy: z nich zaś największa jest miłość."
Cytuje tylko wiersz 12. 11-go i 13-go nie cytuje. Najwyraźniej jednak zachował trochę dziecięcej świeżości spojrzenia i do fizyki czuje miłość. Bo dalej, w tejże przedmowie, pisze tak (w moim fatalnym tłumaczeniu z francuskiego):
"Skąd wiemy to co wiemy? Od czasów greckiej starożytności ludzie zadawali sobie to pytanie, często równolegle z innym fundamentalnym pytaniem: "Kim jesteśmy?"
No właśnie. Poznajmy siebie, a wtedy lepiej zrozumiemy związek tego co jest w zwierciadle naszego umysłu z tym co jest poza nim. Książka jest o nauce i o neutrinach, bowiem neutrina, bardziej niż cokolwiek innego, znamy jedynie pośrednio, poprzez ich odbicia w zwierciadłach przyrządów, teorii i interpretacji. Jak już o tym wspominałem w poprzedniej notce - neutrina są wredne. Ale są potrzebne, bowiem ich lewo-skrętność okazała się jak znalazł gdy odkryto niezachowanie parzystości (symetrii względem odbicia zwierciadlanego) w słabych oddziaływaniach jądrowych.
Teoretycznie mogą być lewo i prawo-skrętne neutrina. Kwestia znaku. Nikt/nic nie broni prawoskrętnemu neutrinu istnieć. A jednak w oglądanym naszymi zmysłami świecie ta symetria jest złamana. W świecie matematycznym ona jest. A w naszym gdzieś umknęła. Kiedy? Dlaczego? W jakim celu? Pytania ważne i ciekawe, ale dziś, zgodnie z obietnicą daną wczoraj, napiszę trochę o symetrii przed jej złamaniem, tej matematycznej.
Co to jest fizyka? To jest to czym zajmują się fizycy. A fizycy obserwują to i owo, czasami eksperymentują, no i układają to co zaobserwowali w pewien zorganizowany sposób. Ważnymi elementami tej organizacji są kategorie czasu i przestrzeni. Razem tworzą czasoprzestrzeń. Przestrzeń fizyków ma 3 wymiary, czas ma jeden wymiar, czaso-przestrzeń ma zatem cztery wymiary. Każde zdarzenie ma cztery współrzędne: trzy współrzędne mówią nam o tym gdzie zaszło, jedna nam mówi kiedy zaszło. Taka matematyczna czaso-przestrzeń, ta w której układamy nasze obserwacje, jest a priori jednorodna, nie ma w niej wyróżnionych punktów ani kierunków. Matematycznie formułujemy tę własność poprzez założenie istnienia grupy symetrii. Dla czaso-przestrzeni fizycy rozważają zazwyczaj dwie możliwe grupy symetrii; grupę Galileusza (fizyki przed-relatywistycznej) lub grupę Poincarego (fizyki realatywistycznej). Zajmę się tą drugą, grupą Poincarego. Jest to najważniejsza grupa symetrii fizyki współczesnej. Chyba, że ktoś chce zaczynać od innego końca i czasoprzestrzeń budować z takich czy innych mniejszych cegiełek. To inna parafia.
Mamy więc grupę symetrii matematycznej czasoprzestrzeni. Trzeba te symetrie zinterpretować fizycznie. Tu są dwa zasadnicze punkty widzenia: punkt aktywny i punkt pasywny. Symetria aktywna to taka, że kiedy mówimy o "przesunięciu", to mamy na myśli faktyczne przesunięcie stołu, co zazwyczaj wiąże się z wysiłkiem fizycznym. W zastosowaniu do całego Słońca trudno to sobie wyobrazić. To znaczy wyobrazić sobie jakoś można, ale rzecz staje się filozoficznie podejrzana. Dajmy więc spokój interpretacji aktywnej. W interpretacji pasywnej mamy wyróżnioną grupę obserwatorów/układów odniesienia, tzw. "inercjalnych". Zdarzenia widziane z różnych układów odniesienia mają różne współrzędne. Związki pomiędzy opisami w różnych inercjalnych układach odniesienia dane są przez transformacje należące do grupy Poincare. Matematyczny opis Przyrody powinien być taki sam dla każdego z tych obserwatorów. Taki ładny punkt startowy dlaszego myślenia.
Wygląda to logicznie dobrze, problem jednak w tym, że w "naszym Wszechświecie" nie jest prawdą, że wszystkie układy odniesienia są równouprawnione. Układ odniesienia związany z Ziemią jest wyróżniony przez to, że Ziemia w nim spoczywa. Ale cóż taka Ziemia w wielkim kosmosie? Usuńmy Ziemię. Wtedy trzeba by było usunąć gwiazdy i galaktyki, promieniowanie tła, wszystko. Zostałby pusty wszechświat. W takim pustym wszechświecie nie byłoby też obserwatorów. Mamy tu jakąś, z rosyjska, "niestykowkę". Fizyka zna takich wiele, nie rozdzierajmy więc szat i zobaczmy co z tych porwanych nici da się uszyć.
Tu się kończy bajkopisanie i zaczyna się filozofia.
Interesują nas konsekwencje symetrii grupy Poincarego w fizyce kwantowej. W fizyce kwantowej symetrie reprezentowane są przez operatory unitarne (czasem antyunitarne, jak na przykład dla odbicia czasu lub sprzężenia ładunkowego). Zamiast transformacji unitarnych prościej jest rozważać generatory jednoparametrowych podgrup. Dla grupy Poincare mamy następujące generatory:
J1,J2,J3 - generatory trójwymiarowych obrotów wokół trzech różnych osi
K1,K2,K3 - generatory porywów w trzech różnych kierunkach
P1,P2,P3 - generatory przesunięć w trzech różnych kierunkach
P0 - generator przesunięć w czasie
Razem 10 generatorów. W zastosowaniu do fizyki kwantowej zakładamy, że są to operatory samosprzężone. Grupa Poincarego jest dziesięcio-wymiarowa. Generatory tworzą algebrę Liego. Spełniają następujące relacje komutacji (patrz Wikipedia)
Uwaga: W definicji algebry Liego nie ma żadnych urojonych "i", ale fizycy kwantowi bez i nie mogą się obyć, bo w mechanice kwantowej to tajemnicze "i" pozwala na automatyczne powiązanie antyhermitowskich "prawdziwych" generatorów, z hermitowskimi "obserwablami". Fizycy wolą "obserwable" i stąd "i". Komutator dwóch operatorów hermitowskich jest antyhermitowski, więc potrzebne dodatkowe i po prawej by się problemu tanio pozbyć.
To epsilon po prawej to zapis w jednej linijce kilku formuł. Na przykład piąta linijka to zapis
[J1,J2]=iJ3, [J2,J3]=iJ1, [J3,J1]=iJ2.
Te generatory są liniowymi operatorami w przestrzeni Hilberta układu kwantowego. Mając operatory spełniające powyższe relacje mamy "reprezentację algebry Liego grupy Poincarego". Z tej reprezentacji algebry Liego przez "eksponencjowanie", z małymi zająknięciami otrzymuje się unitarną reprezentację grupy Poincarego. Można by mówić o "gęstych dziedzinach", wektorach analitycznych itp. Ale dla zrozumienia istoty sprawy nie jest potrzebne.
W roku 1939 ukazała się przełomowa praca Wignera "On unitary representations oft he inhomogeneous Lorentz group".
Z jakiegoś powodu w tych czasach nie mówiło się "grupa Poincarego", zamiast tego mówiło się "niejednorodna grupa Lorentza". Do dziś, gdy ktoś nie lubi Poincarego (albo i Fancuzów w ogóle), będzie tak mówił. Wigner analizuje tam nieprzywiedlne reprezentacje grupy Poincarego, te bowiem mają reprezentować "elementarne układy kwantowe" - inaczej: cząstki elementarne. Z generatorów grupy Poincarego daje się zbudować dwa niezależne operatory Casimira - to znaczy operatory skonstruowane z generatorów, ale przemienne ze wszystkimi generatorami. Są to kwadrat cztero-pędu P2, i kwadrat wektora Pauli-Lubanskiego W2. W nieprzywiedlnej reprezentacji winny to być liczby (tzn. liczbowe wielokrotności operatora jednostkowego. P2 interpretujemy jako kwadrat masy (spoczynkowej) m2, zaś W2 interpretujemy jako m2 s(s+1) gdzie s przyjmuje wartości połówkowe lub całkowite i jest "spinem". Dla m=0 jest trochę inaczej, mianowicie wtedy wektor W jest proporcjonalny do czteropędu, a współczynnik proporcjonalności ma wartości połówkowe i nazywa się "skrętnością" lub "spiralnością ("helicity"). W istocie sprawy są bardziej skomplikowane dla m=0, ale to pomijam. Wigner w swej pracy sprytnie te reprezentacje poklasyfikował, w następnej pracy, z Bargmannem (w r. 1948) , powiązał je z relatywistycznymi równaniami falowymi używanymi w fizyce.
Trzeba też Wignerowi przyznać, że głowę miał otwartą, bowiem w swej pracy z r. 1939 zaznaczył: "Trzeba oczywiście dopuścić, że w przyszłości mechanika kwantowa może mieć charakter nieliniowy". I wtedy, w domyśle, całą tę analizę trzeba będzie robić od nowa.
Neutrino bezmasowe może mieć helicity +1/2 lub -1/2. Może być prawoskrętne lub lewo-skrętne. Ale o tym już innym razem
