Porywająca względność Einsteina

Główne symetrie trójwymiarowej Euklidesowej przestrzeni afinicznej to przesunięcia i obroty. Przesunięcia tworzą grupę. Grupę przemienną: Przesuwając najpierw o wektor a, potem o wektor b otrzymujemy ten sam wynik co przesuwając najpierw o b, a dopiero potem o a. Z obrotami jest inaczej. Na przykład: obracając książkę najpierw o 90 stopni wokół osi x a potem wokół osi y otrzymujemy inny wynik niż przy wykonaniu tych obrotów w odwrotnej kolejności.

Gdy trójwymiarową przestrzeń Euklidesową zastąpimy czterowymiarową czasoprzestrzenią Minkowskiego z czasem jako dodatkową czwartą (lub zerową) współrzędną, wtedy sprawy stają się bardziej złożone. Z translacjami w czasie nie ma problemu. Matematycznie nie różnią się niczym od translacji w przestrzeni. Jednak z obrotami jest już inaczej. Grupa trójwymiarowych obrotów euklidesowych SO(3) zostaje zastąpiona grupą SO(1,3)₊ obrotów pseudo-euklidesowych (tak je nazywamy), inaczej "grupą Lorentza". Grupa Lorentza ma już nieco bardziej skomplikowaną strukturę. I tej strukturze poświęcam dzisiejszą notkę. Najlepiej to widać gdy grupę Lorentza zastąpimy jej dwukrotnym nakryciem, grupą SL(2,C) macierzy zespolonych 2x2 o wyznaczniku 1. O tym pisałem w poprzedniej notce. Oczywiście wszystko to jest ALGEBRA. Ale algebra w służbie ludzkości! W służbie wiedzy i postępu. To narzędzie pomagające nam w sposób niezastąpiony w rozumieniu świata wokół nas. Na razie nie pomaga nam w rozumieniu tego co to dobro a co zło, ale, jestem pewien, i do tego niedługo dojdzie. Algebra - moja miłość! A po akceptacji do publikacji mojej ostatniej pracy o algebrach Clifforda - trochę nawet odwzajemniona!

Kluczowe pojęcie tutaj to "rozkład biegunowy". Mozna to pojecie znaleźć nawet w polskiej Wikipedii po hasłem "Rozkład macierzy".

Na samym dole znajdujemy tam "Rozkład biegunowy", gdzie czytamy:

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy A w postaci

        A = U R ,
gdzie:

    U – częściowa izometria,
    R – macierz dodatnio określona.

W naszym przypadku, gdy A jest macierzą z SL(2,C), można powiedzieć więcej. Mianowicie: macierz U - jest macierzą unitarną, rozkład jest jednoznaczny, oraz macierze U,R obie należą też do SL(2,C).

Każda 2x2 macierz zespolona A z SL(2,C) determinuję macierz rzeczywistą 4x4 transformacji Lorentza, nazwijmy ją L(A). Najprościej ten związek przedstawić formułą (**) z poprzedniej notki:

Aσ_αA* = σ_β L(A)^β_α (**)

Widać stąd, że L(A)=L(-A). Macierze A i -A wyznaczają tę samą macierz Lorentza. I jest to, jak można wykazać, jedyna niejednoznaczność w związku pomiędzy SL(2,C) a SO(1,3)₊. W komentarzu pod poprzednią notką, w odpowiedzi na pytanie Bjaba, zauważyłem, że macierze unitarne U z SL(2C) kodują czyste przestrzenne obroty nie działające w ogóle na współrzędną czasową. A co kodują dodatnio określone macierze R? Tu rozumujemy w sposób następujący.

R jest dodatnio określona, w szczególności hermitowska. Zatem ma rzeczywiste wartości własne. Skoro jednak jest dodatnio określona i ma wyznacznik 1, to jej wartości własne są dodatnie i ich iloczyn jest równy 1. Każdą liczbę dodatnią możemy

jednoznacznie przedstawić w postaci e^w, w rzeczywiste. Możemy się umówić, że w⋝0, czyli, że pierwsza z wartości własnych, λ, jest ⋝1. Zatem wartości własne macierzy R to e^w i e^-w, gdzie w = ln(λ) ⋝ 0. Algebra mówi nam, że gdy dwie macierze hermitowskie R i R' mają te same wartości własne wtedy są powiązane ze sobą podobieństwem unitarnym: R'=URU*. Zatem z dokładnością do trójwymiarowych obrotów możemy skoncentrować się na jednej tylko macierzy o wartościach własnych e^w, e^-w. Najprostsza taka macierz to macierz diagonalna

R=((e^w, 0),(0, e^-w)).

Jakaż to macierz Lorentza jej odpowiada? Użyję tu formuły (*) z poprzedniej notki i programu Reduce (każdy powinien go sobie zainstalować i nauczyć się go używać. Prawdziwy skarb.)

L^α_β = ½ tr(σ_αAσ_βA*) (*)

Oto mój program:

array s(3);
s(0):=mat((1,0),(0,1))$
s(1):=mat((0,1),(1,0))$
s(2):=mat((0,-i),(i,0))$
s(3):=mat((1,0),(0,-1))$
let p0**2=m**2+p1**2+p2**2+p3**2;
A:=mat((exp(w),0),(0,exp(-w)));
array M(3,3);
for i:=0:3 do for j:=0:3 do M(i,j):=(1/2)*trace(A*s(j)*A*s(i))$
Matrix LL(4,4);
for i:=1:4 do for j:=1:4 do LL(i,j):=M(i-1,j-1);
LL;
end;

A oto jego wynik:

Otrzymana transformacja Lorentza to

x0' = cosh(2w)x0 + sinh(2w)x3

x3'= sinh(2w)x0 + cosh(2w)x3

x1'=x1

x2'=x2

Jest to szczególna transformacja Lorentza, z angielsk "boost", po polsku "poryw" Liczbę 2w w angielskim nazywamy "rapidity". Nie wiem czy jest tego polski odpowiednik. Transformacja ta odpowiada przesiadce na pociąg jadący z prędkością

v/c = tanh(2w)

w dodatnim kierunku osi z. Pociągi do nieba (bo oś z zwykle skierowana jest ku niebu) rzadko kursują, więc zamiast do pociągu może lepiej do rakiety.