Chcemy oswoić foton. Ten do dziś jest nieoswojony. Przy próbach oswojenia staje się nerwowy, wierzga, biesi się. Daje się co prawda stadnie ogrodzić- mówimy wtedy o "klasycznym polu elektromagnetycznym". Jednak wyciagnąć poza to ogrodzenie jedną sztukę, zmusić do bycia "przy nodze" - rzecz póki co niemożliwa. Oczywiście doświadczeni hodowcy czynili takie próby w przeszłości, czynią obecnie, i czynić będą w przyszłości. I pewnego dnia ktoś sukces osiągnie. Na razie jednak oswojenie tygrysa to pestka w porównaniu z fotonem. Foton otacza się przy tym mocno drapiącą/raniącą (bardziej niż drut kolczasty) siatką zbudowną z kocykli. Z Wikipedii: (plural cocycles) (cohomology) A cochain that is in the kernel of a coboundary map. Przez te kokocykle da się przejść, ale dalej jest już nietrawersowalne nieliniowe pole siłowe. Nawet przy użycia specjalnego skafandra można wniknąć do środka maksimum na centymetr.
Dziś zrobimy pierwszy krok na drodze oswajania fotonu - nauczymy się jak się fotonowi przyglądać by nie narazić się na ziejący z paszczy ogień. Oczywiście trzeba mieć ze sobą zwierciadło (jak to było z pokonaniem Bazyliszka), ale zwierciadło samo nie wystarcza. Trzeba mieć do tego stale pod ręką algebrę.
Wrócę do poprzedniej notki, która kończyła się zdaniem:
"W kolejnej notce zdefiniujemy iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji falowych i zaczniemy omawiać transformacje składowych wektora f przy zmianie inercjalnego układu odniesienia."
Wrócę więc do tej poprzedniej notki i będę kontynuował. Lecz wpierw zauważę, że profesor Iwo Białynicki-Birula w swej prezentacji z roku 2016 p.t "Mechanika kwantowa fotonów i równania Maxwella"
prezentuje równanie Schrodingera dla fotonów:
Najpierw są równania Weyla dla bezmasowego antyneutrina i neutrina, a poniżej "analogiczne równanie dla fotonów". Funkcja falowa fotonu oznaczana jest tam literą F. To F jest przy tym pogrubione, by przypominać nam o tym, że jest to funkcja o wartościach wektorowych. Działały na tę funkcję będą operatory macierzowe 3x3, jak na przykład ten na obrazku powyżej.
Moje fotony to stworki należące do innego gatunku z rodzaju fotonowatych. W szczególności mają mniejszy wzrost, dlatego funkcje falowe moich fotonów będę oznaczał małą literką f. Też będzie gruba, ale mniejsza, nie będzie aż tak skakała do oczu, łatwiejsza do oswojenia. No i moje równania dla fotonów będą inne. A skąd mamy wiedzieć, że to faktycznie ta sama rodzina? O tym mówi nam analiza zachowania się pod wpływem transformacji z grupy Poincarego: ta sama (lub dokładniej: unitarnie równoważna) reprezentacja unitarna tej grupy symetrii fizyki relatywistycznej. I tym chcę się zająć. Profesor Białynicki wychodzi od innej strony, od strony analogii z równaniami Maxwella, problemy zachowania się funkcji falowych pod wpływem transformacji z grupy Poincarego traktuje jedynie pobieżnie, na poziomie "generatorów" i bez głębszego uzasadnienia. Zatem jest dla mnie miejsce by przedstawić problem mechaniki kwantowej fotonów od tej innej strony. Co niniejszym czynię.
Choć może najpierw mała dygresja. Fotonami najlepiej zajmować się w przestrzeni pędów a nie w przestrzeni położeń - pisałem o tym w poprzedniej notce. Najpierw mały cytat z pracy Henri Bacry'ego "The notion of Localizability and Space: From Wigner to Alain Connes" (pogrubienie moje)
It is only after some discussions with Alain Connes that I became aware of the fact that it was possible to give up Minkowski space-time without rejecting the Poincare group and its attached energy-momentum space. Every physicist would easily convince himself that all quantum calculations in particle physics are made in the energy-momentum space and that the Minkowski xμ. are just dummy variables without physical meaning (although almost all textbooks insist on the fact that these variables are not related with position, they use them to express locality of interactions!). The discussions with Connes were useful: they led first to the generalized position operator presented here and to the idea of a non commutative space as an alternative for our ordinary space. In this investigation, the SchrOdinger zitterbewegung has a role to play.
Bacry proponuje operator położenia o nieprzemiennych składowych i wiąże to z "niekomutatywną geometrią czasoprzestrzeni".
Z próżności dodam, że wspomina także:
"14 Jadczyk and Jancewicz also proposed this operator as a position operator, but only for particles of spin one."
No tak, "spin one" to właśnie nasz foton. I będziemy pracować przestrzeni energii-pędu jak to czyni każdy fizyk dokonujący jakichkolwiek obliczeń w fizyce cząstek elementarnych, przynajmniej dotąd. Ale chcę ten trend zmienić proponując inne równanie falowe dla fotonów. Ale o tym trochę potem.
Pracujemy zatem w przestrzeni pędów. Nasze funkcje falowe f(p) są funkcjami na stożku świetlnym w przestrzeni pędów (patrz poprzednia notka). By reprezentować punkt na stożku świetlnym wystarczy użyć trzech składowych pędu p=(p1=px,p2=py,p3=pz), bo czwarta, p0=E/c, jest już funkcją od tych trzech (jeśli zechcemy także opisać fotony o "ujemnej energii", dojdzie znak minus w równaniu poniżej):
p0 = +√( p2 )
Tutaj pojawia się dość ważna obserwacja. Rozważmy szczególną transformację Lorentza - poryw w kierunku osi z. W działaniu na energię i pęd dany jest formułą:
p0'= cosh(w) p0 + sinh(w) p3
p1' = p1
p2' = p2
p3'=sinh(w) p0 + cosh(w) p3
Parametr w nazywamy "rapidity" ( po polsku "porywczość"?)
Podstawiając we wzór na transformację p3 formułę na p0 otrzymujemy:
p3'=sinh(w) √( p2 ) + cosh(w) p3
Uwaga: Dla cząstki z niezerowa masą spoczynkową mielibyśmy:
p3'=sinh(w) √( p2 + m02c2 ) + cosh(w) p3
Zatem choć transformacje Lorentza działają liniowo w przestrzeni energii-pędu, to działają nieliniowo na argumenty funkcji falowych. Będziemy musieli zatem bardzo uważać.
W kolejnej notce zajmiemy się tym jak te transformacje działają na same funkcje falowe, bowiem po tym działaniu rozpoznajemy z jakimi to "cząstkami elementarnymi" mamy do czynienia.
