Każde miasto ma swój specyficzny charakter. Wrocław ma swój. Skąd się ten charakter bierze? Róznie to bywa. Wrocław jest nietypowy. Jego kulturalny i naukowy charakter ukształtował się pod wpływem przybyłych tam po II-giej Wojnie Światowej intelektualistów. W przypadku matematyki i fizyki głownie zza nowej, wschodniej granicy. W szczególności we Wrocławiu powstała wrocławska szkoła fizyki teoretycznej i matematycznej. Pionierami byli tu profesorowie Jan Rzewuski, Jan Łopuszański, Roman Stanisław Ingarden, później Włodzimierz Garczyński. Wielu młodszych fizyków z tej szkoły potem wyemigrowało.
W poprzedniej notce pisałem o fotonie, wspomniałem serię prac na ten temat Iwo Białynickiego-Biruli. Dziś krótko przedstawię jak do fotonów dobierał się prof. Bernard Jancewicz – wychowanek prof. Łopuszańskiego. A dobierał się od strony algebry. Bo algebrę we Wrocławiu zawsze lubiano. Zbigniew Oziewicz, dziś w Meksyku, jest specjalistą od algebr Clifforda. W Meksyku jest Garrett Sobczyk – inny nawiedzony przez algebry Clifforda. Rafał Abłamowicz, organizator jednej z regularnych światowej konferencji na temat algebr Clifforda i ich zastosowań jest w USA.
Ulubionym przedmiotem Bernarda Jancewicza jest elektrodynamika. Napisał na ten temat najpierw skrypt, potem monografię. Wykładał ten przedmiot przez wiele lat, jest w świecie dobrze znany. Jego szczególnym konikiem jest algebra wielowektorów. Bo, warto to wiedzieć, podczas gdy pole elektryczne E jest (ko)wektorem, indukcja D jest pseudo dwu-(ko)wektorem, to pole magnetyczne B jest dwu-(ko)wektorem, zaś natężenie pola magnetycznego H jest pseudo-(ko)wektorem. Jak to się ma do tego czego uczą w mniej wyrafinowanych podręcznikach? Jancewicz to pięknie na rysunkach wyjaśnia, na przykład:
Białynicki-Birula w poszukiwaniu funkcji falowej fotonu nie ma problemów z pójściem w ślady Landaua i Lifschitza i wprowadzeniu zespolonego pola D+iB. Jancewicz, zarażony bakcylem algebry geometrycznej, ma z tym problemy. Pyta: skąd się niby bierze w fizyce urojona jednostkai? Musi być ku temu jakiś głębszy powód. Jaki to powód? To samo pytanie zdawał sobie już dawno David Hestenes, twórca ruchu „algebry geometrycznej”. O co tu idzie?
Zacznijmy od trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Mamy tam wektory – zorientowane odcinki. Mamy 2-wektory – zorientowane kawałki płaszczyzny. Mamy 3-wektory – zorientowane prostopadłościaniki, kawałki przestrzeni. Mamy też skalary – zwykłe liczby. Algebra geometryczna to nauka o tym jak te wszystkie elementy trójwymiarowej rzeczywistości można w naturalny sposób do siebie dodawać i przez siebie mnożyć. Inna, ogólniejsze nazwa tego samego to „algebra Clifforda”. Algebra geometryczna to szczególny przypadek algebry, gdy liczba wymiarów wynosi trzy (przestrzeń) lub, czasem, cztery (czasoprzestrzeń).
Jaki jest z tego pożytek? Ano taki, że różne własności iloczynu skalarnego i iloczynu wektorowego są zakodowane w piękny sposób w strukturze algebry geometrycznej. Algebra geometryczna jest tak piękna w swej strukturze, że wydaje się być językiem Boga samego. Gdyby ks. Prof. Michał Heller poznał od podszewki i na wylot algebrę geometryczną, to jestem przekonany, że napisał by na ten temat piękną i poczytną książkę.
Białynicki-Birula w swoich pracach interpretuje równania Maxwella jako równanie Schrodingera dla funkcji falowej fotonu. Ma on jednak oprócz samego równania falowego także inne, dodatkowe warunki, które ta funkcja falowa musi spełniać by opisywała foton. Rzecz się robi skomplikowana. Bernard Jancewicz, używając algebry geometrycznej nie tylko pozbywa się urojonego pierwiastka z -1, ale jest w stanie zapisać wszystko w jednym jedynym równaniu na jeden jedyny obiekt geometryczny. Czy to tylko zysk elegancji i nic więcej? Być może. Zdarza się jednak tak, że znalezienie właściwego formalizmu, rozpoznanie naturalnych przyrodzonych własności obiektu fizycznego prowadzi nas ku nowym odkryciom.
Wyjaśnienie co to jest algebra geometryczna wymagałoby całej serii notek. W istocie nie jest to trudne, pojąć może każdy, ale wymaga to jednak pewnego wkładu. Tutaj opowiem tylko jak można się pozbyć urojonego pierwiastka z -1 oraz zapiszę równania Maxwella w jednym równaniu – na wiarę.
Algebra geometryczna.
Punktem wyjścia jest 3-wymiarowa przestrzeń Euklidesowa z ustalona orientacją. Dla skrótu oznaczę ją symbolem E. Elementami E są wektory. Będę je oznaczał grubymi literkami a,b,c itd. Przestrzeń jest Euklidesowa, to znaczy mamy w niej określony iloczyn skalarny a.b o znanych powszechnie własnościach. Interpretacja jest prosta a.b to iloczyn długości wektora a przez długość wektora b i prze cosinus kąta pomiędzy nimi. Na wektorach i na liczbach rozpinamy algebrę łączną w oparciu o jedną tylko własność iloczynu geometrycznego
ab+ba= 2a.b
Gdy a i b są prostopadłe jeden do drugiego, wtedy a.b = 0 i wektory a i b są anty-przemienne:
ab= -ba
Ich iloczyn ab jest wtedy 2-wektorem – zorientowanym elementem powierzchni rozpiętej na tych wektorach.
Gdy wektory a i b nie są wzajemnie prostopadłe, wtedy ich iloczyn geometryczny jest sumą skalara (liczby) i 2-wektora.
W szczególności gdy b=a jest wektorem jednostkowym, wtedy
a2 =aa = 1
Gdy wektory a,b,c są wzajemnie prostopadłe, wtedy abc jest zorientowanym elementem objętości.
Przypuśćmy, że e1,e2,e3 są jednostkowymi wektorami dodatnio zorientowanego kartezjańskiego układu współrzędnych (czasami mówimy: wersory jednostkowe). Wtedy nasza algebra geometryczna jest rozpinana na następujących elementach:
Liczby
1
Wektory
e1,e2,e3
2-wektory
e12= e1e2 ,e23= e2e3 ,e31= e3e1
3-wektory (pseudoskalary)
e123= e1e2e3
Algebra geometryczna jest więc w naszym przypadku 8-wymiarowa. Ogólnie: algebra Clifforda n-wymiarowej przestrzeni jest 2n wymiarowa. U nas n=3 i 23=8
W algebrze geometrycznej mamy naturalną operację: mnożenie przez jednostkowy pseudoskalar e123. Nazywa sie te operację „gwiazdką Hodge'a” i przez* się oznacza.
Obliczmy ** - gwiazdkę do kwadratu. Będziemy korzystać z antyprzemienności i jednostkowości wektorów bazowych:
** =e123e123=e1e2e3e1e2e3= -e1e2e1e3e2e3=e1e1e2e3e2e3= -e1e1e2e2e3e3= -1
Zatem kwadrat * jest zwykłym mnożeniem przez -1. Jest to dokładnie własność tajemniczego urojonego i. Nie ma tu przy nic tajemniczego lub urojonego. Jest to prostą konsekwencją orientacji i trójwymiarowości naszej przestrzeni!
Teraz biegiem do równań Maxwella. Jancewicz wprowadza wielowektor
f =e + *b
który nazywa kliforem elektromagnetycznym. Wtedy równania Maxwella ze źródłami dają się zapisać jednym równaniem:
Df = J
TutajD jest znanym wśród specjalistów od algebr Clifforda naturalnym operatorem, ma swoją nazwę: operator Fuetera.
W interpretacji Jancewicza cliffor f jest niczym innym niż „funkcją falową fotonu”. Tym razem funkcja falowa ma interpretację geometryczną. Gęstość energii pola elektromagnetycznego to ½ kwadratu długości cliffora f. Wektor Pointinga też się daje wyjątkowo prosto zapisać w języku algebry geometrycznej.
Wszystko to jest opisane w publikacji Jancewicza z roku 1993: „A Hilbert Space for the Classical Electromagnetic Field”, Foundations of Physics, Vol. 23, No. 11, 1993, str. 1405-1421
Pięknie. Jednak nie do końca. Są wciąż otwarte pytania. Podobnie zresztą jak w podejściu Białynickiego-Biruli. Sprawa nie jest zamknięta. Światło nadal się przed nami ukrywa, choć widać już koronkę halki i podwiązkę pod spódniczką (to powinno zadziałać na Einego).
Uzupełnienie:
-
W tekście użyłem słowa (ko)wektory. Są to tzw. wektory kowariantne lub „formy”. Formy (w szczególności jedno-formy) to obiekty dualne do wektorów. Forma „mierzy wektory”, przypisując każdemu wektorowi wartość liczbową. Np. Przypisanie wektorowi a jego x-wej współrzędnej (w danym układzie współrzędnych) jest jedno-formą. Oznacza się ją symbolem dx. Przypisanie każdemu wektorowi jego z-towej współrzędnej to forma dz, itd. Ważne by to przypisanie wektorom liczb było liczbowe. Przypisanie każdemu wektorowi jego długości formą nie jest, bo nie jest prawdą ,że długość sumy jest sumą długości.
-
W tekście użyłem symboli e,b sugerującym związek z polem elektrycznym i magnetycznym. Ale jaki dokładnie jest ten związek? Tego nie wyjaśniłem. Wyjaśniam zatem: e = √ε E = D/ √ε, b = √μ H = B/ √(μ).
-
Wspomniana przez monografia Bernarda Jancewicza to "Multivectors and Clifford Algebra in Electrodynamics", World Scientific, Singapore 1988
-
Poprawiłem też literówki i drobne omyłki w tekście.
-
Polskie słowko winno brzmieć „klifor”. Poprawiłem w tekście
