Pitagoras mnie męczy. Spać nie daje. Mądry był. Choć i dziwny.
Żeby coś takiego wymyślić:
No i Euklides też niezgorszy.
I każdy zna cudowny przykład: a = 3, b = 4, c = 5 i może na palcach wyrachować, że
32= 9
42 = 16
52 = 25
No i, cud nad cudami, 9+16 = 25. Można narysować na kratkowanym papierze i sprawdzić linijką.
Trójkę dodatnich liczb całkowitych a,b,c o tej własności: a2 + b2 = c2 nazywamy trójką pitagorejską.
Ile ich jest. Tych trójek? Nieskończenie wiele. Są algorytmy ich znajdowania.
Czemu trójki a nie czwórki? A czwórki to gorsze?
Czwórkę dodatnich liczb całkowitych a,b,c,d o tej własności:
a2 + b2 + c2 = d2 nazywamy czwórką pitagorejską.
Z czwórkami jest nieco trudniej. Ale: możemy przecież zapisać:
x2 + y2 + z2 = t2
I, przyjmując, że prędkość światła c=1, mamy równanie stożka świetlnego. Zatem:
Każdy punkt na stożku świetlnym o całkowitych współrzędnych definiuje uogólnioną czwórkę pitagorejską.
Dlaczego „uogólnioną”? No, bo nasze współrzędne nie muszą być dodatnie. Mogą być ujemne (np. -5), niektóre mogą być zerami, np. punkt (-1,0,0,1). Przejście od tych uogólnionych do dodatnich jest proste: wystarczy wziąć wartość bezwzględną. Pitagorejskość od tego się nie zepsuje.
W
poprzedniej notce: Oko w oko z fraktalnym UFO - Cz. 1 zaznajomiliśmy się z 24-ma macierzami Lorentza o
całkowitych współczynnikach. Wiemy, że przedstawiają one manewry małpy kierującej kosmicznym UFO. Skoro są macierzami Lorentza, to przeprowadzają promienie światła w promienie światła. Zatem przeprowadzają punkty na stożku w punkty na stożku. A jak jakiś punkt ma współrzędne całkowite, to i przetransformowany punkt będzie miał współrzędne całkowite.
Za punkty wyjściowe możemy wybrać punkty (1,0,0,1), (0,1,0,1) i (0,0,1,1). Teraz działamy na nie naszymi macierzami, w dowolnej kolejności i dowolną ilość razy, i już mamy fabrykę czwórek pitagorejskich.
I o tej fabryce będzie w następnej notce.
Czy każdą czwórkę da się w tej fabryce zrobić? Na ile sposobów?
Tego jeszcze nie wiem. Ale porozumiałem się z
Jerzym Kocikiem z Department of Mathematics at Southern Illinois University Carbondale, i, mam nadzieję, wspólnie się nad tym zastanowimy.
