Układ otwarty
Ucz się tak, jakbyś miał żyć wiecznie, żyj tak jakbyś miał umrzeć jutro" Życie jest religią.
197 obserwujących
1503 notki
3562k odsłony
  3314   0

Ujemne prawdopodobieñstwa

Czy prawdopodobieństwo może być równe minus dziesięć?

Takie oto trochę nieprzyzwoite pytanie wyszło z dyskusji moich ostatnich notek. Skoro jest pytanie – należy mu się odpowiedź. Odpowiedzieć obiecałem, więc odpowiadam: nie wiem.

Tak w ogóle, to notka jest trochę na boku, choć nie całkiem. No i jest krótka, bo jestem wciąż jeszcze zajęty kończeniem redagowania pracy o kwantowym tunelowaniu.

Wracam więc do pytania blogera Jerraz1 o te ujemne prawdopodobieństwa. Zaczęło się to od dyskusji rozkładu „prawdopodobieństwa” Wignera dla kwantowego oscylatora harmonicznego – o czym pisałem w notce Rozkład Wignera i kwantowe upiory.

Pokazałem tam wrzuconą na Youtube animację wykresów tego rozkładu dla kolejnych stanów o okreslonej energii dla kwantowego oscylatora.

Co pod osią poziomą – to upiory – ujemne prawdopodobieństwa.

(Patrz także: Wolfram Demenstrations Project:Wigner Distribution Function for Harmonic Oscillator)

Pod poziomą osią są prawdopodobieństwa ujemne. Trzeba je zliczyć. Ale może najpierw przypomnę i wyjaśnię co i jak jest na tych wykresach malowane.

Rzecz się dzieje w przestrzeni fazowej, gdzie zmiennymi są położenie q, i pęd p. Energia mojego oscylatora wyraża się w tych zmiennych wzorem

E = (p2+q2)/2

To suma energii kinetycznej i potencjalnej. Rozważmy najpierw oscylator klasyczny. Dla takiego oscylatora ruch opisywany jest równaniami

x = A sin t

p = A cos t

gdzie A to amplituda, t – to czas (lub faza). Wynika stąd, że A = √ (2E). Punkt w przestrzeni fazowej reprezentujący stan oscylatora klasycznego o energii E porusza się w przestrzeni fazowej ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu √ (2E). Jeśli fazy nie znamy, jeśli znamy tylko energię, wtedy klasyczna gęstość prawdopodobieństwa znalezienia takiego oscylatora w danym punkcie przestrzeni fazowej jest zerem poza naszym okręgiem i jest równomiernie rozłożona na tym okręgu.

Oscylator kwantowy może jednak „tunelować” poza to co jest klasycznie dozwolone. Zazwyczaj rozważa się te tunelowania osobno dla położenia i osobno dla pędu. Funkcja Wignera pozwala nam malować coś w rodzaju rozkładu prawdopodobieństwa w przestrzeni fazowej, jest to funkcja od x i p. Ceną za to są „ujemne gęstości prawdopodobieństwa”. By oszczędzić na malowaniu wprowadziłem w przestrzeni fazowej współrzędne biegunowe, promień r i kąt phi, i w malowaniach kąt opuściłem, bo wychodzą okrągłe kapelusze. Rysuję więc zależność jedynie od promienia. Dodatkowo dla każdego stanu kwantowego oscylatora promień przeskalowałem, tak by klasyczny oscylator miał zawsze promień r = 1. Przy tej umowie funkcje rozkładu Wignera dane są wzorami:

(-1)n (2(2n+1)r)exp(-(2n+1)r2) Ln(2(2n+1)r2)

gdzie Lnto tzw. wielomiany Laguerre'a.

I te właśnie funkcje maluję na animacji. Zbierając pola pod osią można wyliczyć „maksymalne ujemne prawdopodobieństwo”. Można to jednak zrobić jedynie numerycznie. Analitycznie się nie da. Zabrałem się więc do roboty. Wyliczyłem numerycznie dla n od 0 do 30. Dalej prymitywna numeryka zawodzi, komputer się buntuje, trzeba by sięgnąć po bardziej wyszukane metody. Pole pod osią (przedstawione jako liczby ujemne), te ujemne prawdopodobieństwa, dla n=0..30 pokazane są na poniższym wykresie.

negative probabilities

 

Widać, że schodzą aż do -2 przy n=30. A le co będzie dla większych n? Jak się ta krzywa będzie zachowywać? Tego nie wiem i chyba nikt tego nie wie.

Mechanika kwantowa ma już ponad sto lat, więc, wydawałoby się, wszystko tam powinno być wiadome. A jednak na wiele prostych pytań odpowiedzi do dziś nie znamy, a nawet kiedy znamy, to nie rozumiemy.

Lubię to! Skomentuj95 Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Komentarze

Inne tematy w dziale Technologie