I construttori di questi orrori

Konstruktorzy nie mają łatwego życia.

Jak śpiewa Celentano:

I construttori di questi orrori

Cue senza un volto fanno le case

Dove la carie germoglia gia'

I want to know

Skonstruowanie czegokolwiek to sprawa ciężka. Można niechcący skonstruować przerażające monstrum. Chcemy wiedzieć. Chcemy wiedzieć jak przewidywać zachowanie się naszych konstrukcji: kija golfowego, silnika, całego samochodu. Od tego może zależeć nie tylko nasze dobre samopoczucie ale wręcz nasz życie. A sprawy nie są proste. By móc przewidzieć jak będzie zachowywał się kij golfowy, trzeba znać jego środek ciężkości i tensor momentu bezwładności. Od tego są specjalne laboratoria, na to są duże pieniądze.

Chcemy znać środek ciężkości i tensor momentu bezwładności silnika – by móc go właściwie zamontować. Jeszcze większe pieniądze i jeszcze większe laboratoria:

Patrz: Huv Williams,. Measuring the Inertia Tensor

Wreszcie chcemy znać tensor momentu bezwładności całego samochodu, z pasażerami i bez, z ładunkiem i bez. To cała branża:

Trzeba wiedzieć jak to pomierzyć, I want to know, trzeba umieć skonstruować hardware i software. Trzeba przy tym pamiętać, że obowiązuje zasada GIGO – garbage in garbage out. Lub garbage in gospel out. Zakupiliśmy i zainstalowaliśmy coś drogiego i skomplikowanego i wierzymy święcie, że możemy na wartościach na wyjściu polegać.

Całe szczęście, że my, tutaj, zajmujemy się nakrętką fikającą swobodnie w kosmosie. Nie musimy jej nijak zawieszać, nie musimy podpierać, nie musimy amortyzować. Nasze życie jest wyjątkowo proste. Cała dynamika nakrętki sprowadza się do znajomości osi głównych i momentów bezwładności względem tych osi. Gdzie nakrętka ma osie główne, to nietrudno zgadnąć. Oto obrazek z pracy

Petrov, Volodin, Janibekov’s Effect and the Laws of Mechanics, Doklady Physics, 2013, Vol. 58, No. 8, pp. 349–353

Możemy momenty bezwładności względem trzech osi oszacować modelując nakrętkę cylindrem z dwiema masami – jak na obrazku wyżej. Autorzy pracy momenty bezwładności wyliczyli. Otrzymali

Dobierając wygodny układ jednostek przyjmijmy więc, że momenty wynoszą

8,7,2. Dla prawdziwej nakrętki mogą być trochę inne, jednak zasada będzie ta sama: jest moment największy, to względem osi ksi, jest moment środkowy, względem osi eta, i jest moment najmniejszy, względem osi dzeta, przechodzącej przez skrydełka.

W ogólności, względem osi głównych mamy trzy momenty bezwładności: Ix,Iy,Iz. Przypomnijmy, że jak uczą się górnicy i hutnicy, dla jednej masy m w punkcie x,y,z momenty bewładności to iloczyny masy i kwadratu odległości od osi:

Ix = m(y²+z²)

Iy = m(x²+z²)

Iz = m(x²+y²)

Dodając widzimy, że Ix+Iy = Iz + 2mz² to jest >= (większe lub równe) Iz. I tak dostajemy nierówności (wziąłem je ze strony Rendering Body Shapes in SimMechanics)

Każdy tensor momentu bezwładności, każdego ciała, musi te nierówności spełniać. Powiedzmy, że takie trzy liczby mamy. Jak skonstruować ciało mające właśnie te charakterystyki bezwładnościowe?

Bardzo prosto. Wystarczy wziąć sześć mas, po dwie równe, na wzajemnie prostopadłych cienkich prętach, w odległości 1/2. Policzmy momenty bezwładności dla takiego kręciołka:

Ix = 2*My/4+2Mz/4= (My+Mz)/2

Iy = 2*Mx/4+2Mz/4 =(Mx+Mz)/2

Iz =2*Mx/4+2My/4 =(Mx+My)/2

Powiedzmy, że mamy zadane Ix,Iy,Iz. Możemy stąd wyliczyć potrzebne Mx,My,Mz. Dostajemy mianowicie

Ix+Iy-Iz = Mz

Ponieważ Ix,Iy,Iz muszą spełniać nierówności wyżej, Mz możemy wyliczyć. Podobnie My i Mx.

 

Zatem nasz kręciołek z sześcioma masami jest uniwersalny: możemy nim wymodelować każde ciało sztywne. Oczywiście jest on uniwersalny tak długo jak długo ciała nie chcemy podpierać czy zawieszać. Nasz kręciołek może mieć małe rozmiary, mieścić się w pudełku od zapałek – za to wielkie masy. I będzie modelował ogromny samolot – oczywiście do pewnego stopnia i pod pewnymi względami. Tak długo jak długo istotny jest jedynie tensor momentu bezwładności. I tylko to nas w aktualnym problemie interesuje.

I construttori di questi orrori

Cue senza un volto fanno le case

Dove la carie germoglia gia'

I want to know