Zapiszmy jeszcze raz wzory transformacyjne któe udało się wyprowadzić w poprzednich notkach:
X = 1/g (x + vt)
T = 1/g (t + vx/c²)
gdzie g = sqrt(1-v²/c²)
Przypomnę po raz kolejny, co oznaczają. Otóż, jeśli mamy dwa dowolne układy współrzędnych poruszające się względem siebie, to w jednym układzie położenie i czas jakiegoś konkretnego zdarzenia oznaczamy przez x i t. Dla prostoty wzorów przyjmujemy, że ruch odbywa się wzdłuż osi ox w jednym układzie, i wzdłuż osi OX w drugim układzie. Na dodatek, początki układów współrzędnych (o i O) się pokrywają. Dotyczy to zarówno położenia jak i czasu, więc w punkcie o (O) czasoprzestrzeni, przestrzenne początki układów się pokrywały a znajdujące się tam zegary zostały zsynchronizowane.
Tak więc, mamy jakąś konkretną wpółrzędną (x,t) pewnego zdarzenia w jednym z układów. Jeśli chcemy obliczyć jakie będą współrzędne TEGO SAMEGO zdarzenia w drugim układzie, stosujemy powyższe wzory. I tyle.
Zauważmy, że nie ma w tym niczego zdumiewającego. W klasycznej, galileuszowskiej fizyce mamy to samo (prawie). Jeśli układami są np. dwa oddalające się po minięciu pociągi, to też trzeba transformować współrzędne. Bo z perspektywy pasażera jednego pociągu, jeśli nastąpi jakieś zdarzenie, to nastąpi w określonym miejscu jego pociągu - np w jego przedziale. Z perspektywy pasażera drugiego pociągu, to samo zdarzenie nastąpi bliżej lub dalej od niego, zaleznie od tego, jak szybko poruszają się wzajemnie pociągi i w jakim czasie od minięcia zdarzenie wystapiło. To jest właśnie transformacja Galileusza. Różni się ona jedynie tym, że chociaż miejsca wystąpienia zdarzenia względem jednego i drugiego pociągu będą różne, to czas zdarzenia będzie tym samym czasem dla obydwu. W transformacji Lorentza względne jest nie tylko miejsce ale i czas.
Wykonajmy małą "sztuczkę" matematyczną z powyższymi wzorami. Pierwszy z nich podzielmy obustronnie przez c:
X/c = 1/g (x/c + v/c * t)
Ponieważ mamy dzielenie przez stałą, to zamiast X/c i x/c możemy użyć nowych zmiennych X i x. Wielkość v/c zastąpimy przez v:
X = 1/g (x + vt)
Zauważmy że drugi wzór można wówczas zapisać jako:
T = 1/g (t + vx)
oraz:
g = sqrt(1-v²)
Pozbyliśmy się stałej c ze wzorów, przez co wszystkie przekształcenia z ich użyciem będą znacznie prostsze. W dodatku, wzory stały się symetryczne. Współrzędne czasowe T i t są traktowane tak samo jak nasze "nowe" współrzędne przestrzenne X i x. Co się stało z naszymi "normalnymi" współrzędnymi x i X? Zmieniliśmy im tylko jednostki! Zamiast np. 1m musimy wstawić 1m/300,000,000 m/s = 1/300,000,000 s. Odległość w sekundach!? No i co z tego? Przecież bez problemu posługujemy się rokiem świetlnym jako jednostką odległości. Tu zamiast metrów mamy odpowiednią liczbę "sekund świetlnych", czyli odległość przebytą przez światło w ciągu tych sekund. To ta sama odległość, tylko wyrażona w innej jednostce.
A prędkość? Zamiast v używamy v/c. Czyli zamiast np 100,000,000 m/s wstawiamy 1/3 a zamiast 150,000,000 m/s wstawiamy 0.5. Ta nasza nowa prędkość v jest bezwymiarowa i pokazuje w jakim jest stosunku do prędkości światła.
Zwykle, w kursach STW czyni się odwrotnie. Tzn. prędkość v zamienia się tak samo na v/c ale x i X zostawia się bez zmian, za to T i t zamienia się na T = cT i t = ct. Czyli zamiast wyrażać odległość w sekundach światła, czas wyrażamy w "metrach światła". Metr światła to czas w jakim światło przebiegnie odległość 1m. Efekt dla wzorów jest ten sam - stają się symetryczne i pozbywamy się stałej c.
