Fizyka i matematyka splatają się tak mocno, iż trudno nieraz powiedzieć, gdzie przebiega między nimi granica.
Interpretując fizycznie wybrany fragment lub fragmenty matematyki otrzymujemy odpowiedni dział fizyki teoretycznej lub po prostu jakiś model dziedziny fizyki. (kiedyś mówiono o takiej dziedzinie matematyki, jako matematyka stosowana, obecnie taki podział jest anachroniczny z racji bogactwa zastosowań prawie każdej dziedziny matematyki w modelowaniu matematycznym, nie koniecznie w fizyce np. w biologii, czy ekonomii )
Zbiór takich modeli tworzy teorię fizyczną np. teorię elektromagnetyzmu, czy też teorię grawitacji Einsteina.
Jednym z najważniejszych narzędzi fizyki teoretycznej jest bez wątpienia rachunek tensorowy oraz jego podrozdział rachunek wektorowy. Zazwyczaj fizycy biorą to z danego działu matematyki, co im akurat pasuje i jest odpowiednie aby modelować taki, lub inny obszar zjawisk fizycznych. W takim podejściu zazwyczaj, nie zwraca się uwagi na rygor matematyczny, np. przyjmuje się, że to co jest używane jest odpowiednio umotywowane matematycznie tj. zostało ściśle dowiedzione i nie ma potrzeby troszczyć się o detale – zawsze można sięgnąć do odpowiedniej książki i sprawdzić, czy np. założenia poczynione w ramach modelu fizycznego odpowiadają założeniom danego zagadnienia matematycznego.
Ponieważ w pierwszym przybliżeniu Natura jest liniowa, naturalnym wydaje się zastosowanie metod wypracowanych w algebrze liniowej. I takie podejście jest bardzo mocno eksploatowane zarówno w obszarze klasycznym jak i kwantowym fizyki.
Filarem algebry liniowej jest pojęcie przestrzeni wektorowej (liniowej):
www.fizyka-teoretyczna.pl/matfiz/Przestrzen_liniowa_w_fizyce.pdf
Podkreślenia wymagają następujące fakty. Istnieje (definiuje się ) przestrzeń wektorowa oraz przestrzeń kowektorowa – form liniowych (która też ma strukturę przestrzeni liniowej). Zatem mamy do czynienia z dwoma typami obiektów – wektorami (kontrawariantnymi) i kowektorami (wektorami kowariantnymi).
Istotnymi są przy tym prawa transformacji jakim podlegają te dwa obiekty.
W układach ortogonalnych (prostoliniowych) nie musimy rozróżniać takich obiektów.
Wprowadzając na przestrzeni wektorowej pojęcie ciągłości tj. określając pewną topologię, możemy zdefiniować pojecie pola wektorowego oraz wykorzystać metody analityczne. Dochodząc tym samym do „klasycznej analizy wektorowej”.
www.fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/Wprowadzenie_do_rachunku_wektorowego.pdf
Narzędzie zwane „analizą wektorową” jest bardzo użyteczne w wielu rozdziałach fizyki, sztandarowym przykładem jest oczywiście elektrodynamika klasyczna i newtonowska teoria grawitacji.
Dalej chciałbym polecić tłumaczenie książki:
Analiza wektorowa i tensorowa D. E. Kumpiak Wydawnictwo Uniwersytetu Twierskiego Twier 2007
Książkę bez trudu można znaleźć w sieci, wpisując :
Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие Кумпяк Д.Е.
www.fizyka-teoretyczna.pl/tlumaczenia/Kumpiak_Analiza_wektorowa.pdf
Spis treści.
Oznaczenia
1. Elementy algebry tensorowej
1.1 Przestrzeń sprzężona
1.1.1 Definicje
1.1.2 Izomorfizm kanoniczny skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej i jej przestrzeni sprzężonej
1.1.3 Własności transformacyjne wektorów i kowektorów
1.2 Tensory w przestrzeni liniowej Działania nad tensorami
1.2.1 Definicja tensora
1.2.2 Iloczyn tensorowy
1.2.3 Składowe tensora w bazie
1.2.4 Własności transformacyjne tensorów.
1.2.4 Własności transformacyjne tensorów.
1.2.6 Zawężenie tensora względem wielu indeksów (zawężenie multiindeksowe – przypis własny)
1.2.7 Działania algebry tensorów we współrzędnych
1.3 Tensory na przestrzeni liniowej z iloczynem skalarnym (tj. przestrzeni liniowej w której zdefiniowano iloczyn skalarny – przypis własny)
1.3.1 Utożsamienie wektorów i kowektorów w przestrzeni (pseudo)euklidesowej
1.3.2 Kontrawariantny tensor metryczny
1.3.3 Podniesienie i opuszczenie indeksów
1.4 Formy zewnętrzne. Iloczyn zewnętrzny.
1.4.1 Działanie grupy permutacji na przestrzeni form k -liniowych.
1.4.2 Formy zewnętrzne i operator alternacji
1.4.3 Operacja iloczynu zewnętrznego
1.4.4 Baza przestrzeni k -form zewnętrznych
1.5 Orientacja. Forma objętości. Operator Hodge’a
1.5.1 Orientacja przestrzeni liniowej. Forma objętości
1.5.2 Metryczna forma objętości
1.5.3 Dualna forma objętości
1.5.4 Operator Hodge’a (zwany również gwiazdką Hodge’a – przypis własny)
1.5.5 Iloczyn wektorowy
1.6 Zastosowanie 1. Tensor bezwładności
1.6.1 Tensor bezwładności ciała absolutnie sztywnego
1.6.2 Obliczenie tensora bezwładności we współrzędnych
2.1 „Wycieczka” w analizę
2.1.1 Różniczkowalność i różniczka
2.1.2 Geometryczny sens różniczki. Pochodna kierunkowa.
2.2 Regularne układy współrzędnych
2.2.1 Współrzędne afiniczne (prostoliniowe)
2.2.2 Regularne układy współrzędnych
2.2.3 Współrzędne krzywoliniowe. Linie współrzędnościowe. Baza lokalna.
2.2.4 Macierz Jakobiego jako macierz różniczki.
2.2.5 Orientacja regularnego układu współrzędnych
2.3 Pola wektorowe i tensorowe.
2.3.1 Pola wektorowe.
2.3.2 Pola tensorowe o dowolnej strukturze.
2.3.3 Formy różniczkowe.
2.3.4 Tensor metryczny i forma objętości we współrzędnych krzywoliniowych
2.3.5 Gradient gładkiej funkcji
2.4 Zastosowania cz. 2 . Równanie dynamiki punktu we współrzędnych krzywoliniowych
2.4.1 Prędkość i przyspieszenie punktu we współrzędnych krzywoliniowych.
2.4.2 Równanie Newtona we współrzędnych krzywoliniowych (równania Lagrange’a)
3. Różniczkowanie zewnętrzne
3.1 Definicja i własności różniczkowania zewnętrznego
3.1.1 Przykład : warunki Cauch’ego – Riemanna w języku różniczkowania zewnętrznego
3.2 Operatory analizy wektorowej w języku różniczkowania zewnętrznego
3.2.1 Dywergencja pola wektorowego
3.2.2 Operator Laplace’a
3.2.3 Rotacja pola wektorowego
3.3 Lemat Poincarego i jego zastosowania w analizie wektorowej
3.3.1 Zamknięte i dokładne formy różniczkowe. Lemat Poincarego
3.3.2 Pewne zastosowania lematu Poincarego : potencjał skalarny i wektorowy
3.4 Antyprzeciągnięcie form różniczkowych poprzez odwzorowanie gładkie
3.5 Zastosowanie 3. Równania elektrodynamiki w języku form różniczkowych.
3.5.1 Klasyczna forma równań pola elektromagnetycznego
3.5.2 Przestrzeń Minkowskiego i tensor pola elektromagnetycznego.
3.5.3 Równania Maxwella w języku form różniczkowych
4. Całkowanie form różniczkowych
4.1 Całka formy różniczkowej.
4.1.1 Wycieczka w analizę : zmiana zmiennych w całce wielokrotnej
4.1.2 Całkowanie zewnętrznych form różniczkowych w zorientowanej przestrzeni afinicznej
4.1.3 Całkowanie form różniczkowych na łańcuchach
Kostki osobliwe. Całka od formy różniczkowej po kostce osobliwej. Niezależność od wyboru parametryzacji.
Łańcuchy. Całka od formy różniczkowej po łańcuchu.
Brzeg osobliwej kostki i łańcucha.
4.3 Pewne szczególne przypadki ogólnego wzoru Stokesa
4.3.1 Twierdzenie Gaussa o dywergencji.
4.3.2 Pierwszy i drugi wzór Greena
4.3.3 Wzór Gaussa-Ostrogradskiego
4.3.4 Klasyczny wzór Stokesa.
4.3.5 Wzór Greena na powierzchni.
4.3.6 Twierdzenie Cauchy’ego o residuach.
4.3.6 Wzór Newtona-Lebniza.
4.4 Zastosowanie 4. Fizyczna interpretacja div i rot.
4.4.1 Fizyczna interpretacja całki powierzchniowej II rodzaju.
4.4.2 Fizyczna interpretacja div.
4.4.3 Twierdzenie o zmianie prędkości objętości w przestrzeni fazowej.
4.4.4 Fizyczna interpretacja rot
Książka prezentuje podstawowy wykład rachunku wektorów i tensorów, wraz z pewnymi zastosowaniami w fizyce.
Należy zwrócić uwagę na: definicje wektorów i kowektorów, oraz związku między nimi, ogólną definicje tensora (m, n ), algebry tensorów – iloczyn tensorowy, zawężanie, alternacja.
Definicję formy zewnętrznej, algebrę form zewnętrznych – iloczyn zewnętrzny.
Pojęcie pola tensorowego, w szczególności pojęcie zewnętrznej formy różniczkowej. Pojęcie inwariantnej formy objętości, operator Hodege’a *, cofnięcie formy (antyprzeciągniecie pull back ).
Całkowanie form po łańcuchach, czyli analiza wektorowa na "przyzwoitym" poziomie.
I na koniec małe podsumowanie:
www.fizyka-teoretyczna.pl/matematyka/struktury_liniowe.pdf
