4 obserwujących
25 notek
24k odsłony
448 odsłon

Dokładne rozwiązanie sprężystego zderzenia N ciał

Wykop Skomentuj14

Koronawirus krązy po świecie, krąży. Puka do drzwi, okien, na spotkanie zaprasza. Tak trudny czas skłania do zrobienia czegoś co wydawało się niemożliwe a tym czymś jest tytułowe zderzenie. A to wskazuje coś z Nauki.

Mamy tu dwie równości wynikające z odpowiednich praw zachowania: suma energii przed zderzeniem jest równa sumie energii po zderzeniu oraz suma pędów przed zderzeniem jest równa sumie pędów po zderzeniu.

Zderzenie dwóch ciał liczy się na fizyce w szkole średniej. Dla zadanych 2 mas i ich 2 prędkości przed zderzeniem wyliczamy 2 prędkości po zderzeniu. Mamy 2 równania 2 niewiadome, nieskomplikowane wzory i licealiści powinni to umieć rozwiązać. W Wikipedii takie rozwiązanie jest podane.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Zderzenie_spr%C4%99%C5%BCyste

A dla większej liczby ciał mamy dalej 2 równania ale N niewiadomych. Wydaje się, że rozwiązanie jest niemożliwe, ale czy na pewno przecież przyroda jakoś sobie z tym musi radzić, zderzano tryliony cząstek i nie zauważono zawahania się jak mają one lecieć po zderzeniu. Więc muszą być jakieś dodatkowe ukryte związki, które nie są natychmiast widoczne, tak jak w zagadce.

Zagadka, którą kiedyś usłyszałem (co wypomniał mi Karlus).

Spotkało się dwóch matematyków po wielu latach, opowiadają o sobie o dzieciach i jeden z nich odpowiada zagadkowo

Mam 3 dzieci, iloczyn ich lat wynosi 36 a suma lat tyle ile okien w domu naprzeciwko. Drugi liczy i mówi to nie jest jednoznaczne, potrzebuję jeszcze dodatkowej informacji. Pierwszy dodaje – najstarsze na zeza. Świetnie, odpowiada drugi – mają one … lat, … lat i … lat.

Ile - podam dalej, bo może ktoś samodzielnie zechce rozwiązać.

Do analizy zderzeń wezmę teorię względności, a w szczególności pomocną RAPIDITY.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rapidity

Jest to odpowiednia bezwymiarowa parametryzacja prędkości v bardzo ułatwiająca obliczenia. Zdefiniowana jest przez funkcję tangens hiperboliczny.

v/c=tanh(V), c jest prędkością światła.

image

Ponieważ będzie wiele prędkości więc te przed zderzeniem oznaczę przez uk, po zderzeniu vk. Odpowiadające im rapidity oznaczę dużymi literami Uk i Vk.

Co ułatwia rapidity:

1. Dla dowolnego V wyliczona prędkość v nie wykracza poza przedział ograniczony prędkością światła (–c, c). 

2. Transformacja Lorentza jest zastąpiona obrotami hiperbolicznymi.

3. Relatywistyczne dodawanie prędkości jest zastąpione przez zwykłe dodawanie odpowiadających rapidity.

4. Energia ciała wyraża się następująco E=m*c2*cosh(V), natomiast pęd p= m*c*sinh(V).

5. I jeszcze trochę innych.

Widać, że należy zajrzeć do funkcji hiperbolicznych. Dla przykładu z definicji funkcji tanh mamy

u/c=tanh(U)=(eU-e-U)/(eU+e-U), a stąd możemy wyliczyć eU=((c+u)/(c-u))1/2. Czyli słowami liczba e podniesiona do potęgi rapidity U jest pierwiastkiem z wyrażenia z prędkościami (c+u)/(c-u).

Podpowiedź do zagadki - drugi matematyk wie ile jest okien. To ważne.

Równania opisujące zderzenia sprężyste N mas m1, m2,…,mN przyjmują postać, energetyczne

m1*c2*cosh(V1)+ m2*c2*cosh(V2)+…+ mN*c2*cosh(VN)=

=m1*c2*cosh(U1)+ m2*c2*cosh(U2)+…+ mN*c2*cosh(UN)

pędowe

m1*c*sinh(V1)+ m2*c*sinh(V2)+…+ mN*c*sinh(VN)=

=m1*c*sinh(U1)+ m2*c*sinh(U2)+…+ mN*c*sinh(UN)

Wygodniej będzie przedstawiać w postaci wykładniczej. Korzystam ze związków cosh(X)+sinh(X)=eX oraz cosh(X)-sinh(X)=e-X. Raz dodając stronami równania energetyczne i pędowe, po wcześniejszym podzieleniu przez odpowiednią potęgę c, drugi raz odejmując. Otrzymujemy

(A)....m1*eV1+ m2*eV2+…+ mN*eVN= m1*eU1+ m2*eU2+…+ mN*eUN

(B)....m1*e-V1+ m2*e-V2+…+ mN*e-VN= m1*e-U1+ m2*e-U2+…+ mN*e-UN

Równość stron równań jest zachowana gdy wykonamy nad tymi stronami takie same działania.

(m1*eV1+ m2*eV2+…+ mN*eVN)*( m1*e-V1+ m2*e-V2+…+ mN*e-VN)=

=( m1*eU1+ m2*eU2+…+ mN*eUN)*( m1*e-U1+ m2*e-U2+…+ mN*e-UN)

Po rozpisaniu otrzymamy równość wielomianów iloczynów mas mk*ml ze współczynnikami, którymi po redukcji będą kosinusy hiperboliczne. Rozpiszę je w sposób jawny dla N=3.

mk*ml…...............rapidity V....................rapidity U

m1*m1…...............1......................................1

m1*m2…...............2*cosh(V1-V2)....................2*cosh(U1-U2)

m1*m3…...............2*cosh(V1-V3)....................2*cosh(U1-U3)

m2*m2…...............1......................................1

m2*m3…...............2*cosh(V2-V3)....................2*cosh(U2-U3)

m3*m3…...............1......................................1

Ponieważ równość ma byś spełniona dla dowolnych (niezerowych) mas więc odpowiednie kosinusy hiperboliczne muszą być równe.

Podpowiedź do zagadki - drugi matematyk też rozpisał wszystkie iloczyny lat.

Iloczyn........Suma

36=36*1*1.....38

36=18*2*1......21

36=12*3*1.......16

36=9*2*2..........13

36=9*4*1.........14

36=6*3*2..........11

36=6*6*1.........13

Zagadnienie zderzenia jest spełnione gdy wszystkie kosinusy są sobie równe. To zagadnienie musi mieć rozwiązanie trywialne czyli ciała mijają się i lecą bez zmian. To jest spełnione gdy

V1-V2=U1-U2 i V1-V3=U1-U3. Dla dowolnej liczby N kontynuujemy aż do V1-VN=U1-UN. Pozostałe równości są zależne.

Ponieważ wtedy, po podstawieniu, wszystkie rapidity V są równe rapidity U a tym samym wszystkie prędkości v są równe prędkościom u.

Jest wiadome, że funkcja cosh jest symetryczna, czyli cosh(X)=cosh(-X). Oznacza to, że możemy zmienić znaki bez zmiany wartości funkcji cosh. I to jest drugie rozwiązanie zagadnienia.

Wykop Skomentuj14
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie