Podstawy Szczególnej Teorii Względności (2)

Dość często powtarzanym zarzutem wobec STW jest fakt, że w zyciu codziennym nie mamy do czynienia z prędkościami relatywistycznymi, a więc nie możemy w żaden sposób efektów relatywistycznych obserwować. Oczywiście trudno ten zarzut przenieść na naukę, gdzie np. akceleratory cząstek ciągle borykają się z problemami relatywistycznymi, ale czy efekty te może obserwować tzw. szary człowiek wokół siebie?

Chciałbym pokazać dwa przykłady tego, iż efekty relatywistyczne jak najbardziej obserwujemy wokół siebie, lecz zwyczajnie nie wiążemy ich z relatywistyką. Nazywamy je inaczej nie wiedząc nawet, że wprost z relatywistyki wynikają.

Przypomnijmy więc, że w Szczególnej Teorii Względności przewija się człon 1/sqrt(1-v^2/c^2) czyli tzw. czynnik Lorentza. Ponieważ pojawia się w nim stosunek prędkości do prędkości światła, jasnym jest, że czynnik ten zaczyna mieć znaczenie dopiero przy prędkościach porównywalnych z prędkością światła. Prędkość światła to ok. 300 tyisęcy kilometrów na sekundę. Prędkości osiągane przez pojazdy ziemskie rzadko przekraczają nawet jeden kilometr na sekundę, a otaczające nas obiekty poruszają się z prędkościami rzędu metrów na sekundę. Czynnik ten jest więc koszmarnie bliski jedności i dlatego tak trudny do obserwacji.

Jeśli więc czynnik Lorentza jest tak bliski jedności, to aby go zauważyć, musimy szukać takich zjawisk dla których wartości mnożone przez ten czynnik są ogromne. Jeśli ogromną wielkość pomnożymy przez czynnik nawet bardzo mało odbiegający od jedności, to w efekcie możemy otrzymać coś, co ma rozsądną i obserwowalną wielkość.

Przywołajmy tutaj słynny wzór Einsteina na równoważność energii i masy: E=mc^2. Jest to wzór na energię spoczynkową, prawidłowy wzór na energię całkowitą jest inny, a mianowicie E=mc^2/sqrt(1-v^2/c^2). W niektórych interpretacjach po prostu wiążemy ten czynnik z masą mówiąc, iż m/sqrt(1-v^2/c^2) to tak zwana masa relatywistyczna i wtedy wzór E=mc^2 jest ogólny. Pozostańmy przy wzorze ze zwykłą masą i czynnikiem Lorentza. Energia całkowita to więc energia spoczynkowa pomnożona przez ten czynnik. Mamy więc:

Es=mc^2 - energia spoczynkowa

Ec=mc^2/sqrt(1-v^2/c^2) - energia całkowita

Energia spoczynkowa ma koszmarnie dużą wartość. Wystarczy przypomnieć, że np. podczas wybuchy bomby atomowej, te kilkanaście kilogramów plutonu zamienia się w kilkanaście kilogramów innych pierwiastków. Różnica w masie substratów i produktów to ledwo pojedyncze gramy i te właśnie gramy zamienione w energie mają tak katastrofalną wartość.

Jeśli więc wyobrazimy sobie zwykłą, kilkudziesięciotonową ciężarówkę, to jej energia spoczynkowa swobodnie przekracza potencjał energetyczny wszystkich bomb atomowych zgromadzonych na świecie. Oczywiście nie mamy możliwości wyzwolenia tej energii spoczynkowej (chyba, że dysponowalibyśmy porównywalną ilością antymaterii). Mamy jednak możliwość rozpędzenia jej do niewielkiej prędkości i obserwowania poprawki relatywistycznej.

Zdefiniujmy więc energię kinetyczną, jako różnicę energii całkowitej i spoczynkowej:

Ek=Ec-Es=mc^2*(1-1/sqrt(1-v^2/c^2))

Jeśli rozpędzoną ciężarówką uderzymy w przeszkodę, to bez wątpienia będzie to miało katastrofalne skutki. Wydzieli się energia, która spożytkowana zostanie głównie na pracę - niszczenie konstrukcji ciężarówki, oraz przeszkody, taże na ciepło, energię dźwiękową itp. Te efekty, które obserwujemy to jest właśnie efekt tej niewielkiej poprawki relatywistycznej, nałożonej na ogromną energię spoczynkową ciężarówki.

No dobrze, ale ktoś zauważy, że przecież w szkole uczą iż energia kinetyczna Ek=mv^2/2. W ogóle nie przypomina to tego dziwoląga Ek=mc^2*(1-1/sqrt(1-v^2/c^2)). Otóż clue polega na tym, że to właśnie to samo. Aby się o tym przekonać wystarczy podstawić jakieś wartość pod v typu 10 m/s i sprawdzić kalkulatorem.

Oczywiście to nie dokładnie to samo. Wzór relatywistyczny jest wzorem ogólnym, a wzór klasyczny to tylko przbliżenie dla małych prędkości. Zbliżając się do prędkości światła wzór relatywistyczny będzie słuszny, a wzór klasyczny coraz mniej. Na pewno da się więc wyprowadzić wzór klasyczny z relatywistycznego. Owszem. W takiej sytuacji fizycy zazwyczaj posiłkują się rozwinięciem wyrażenia w szereg.

Przykładem może być np. szereg Taylora: http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_Taylora

Jeśli zsumujemy wszystkie jego wyrazy (jest ich nieskończenie wiele), otrzymamy przybliżaną funkcję. Jeśli nie interesuje nas stuprocentowa dokładność, wystarczy nam kilka pierwszych członów. Dla uproszczenia rozwińmy w szereg Taylora wzór na energię całkowitą Ec=mc^2/sqrt(1-v^2/c^2). Przyjmijmy v^2/c^2=b i skorzystamy z rozwinięcia (1+b)^a=suma z (a po k) * b^k, dostając:

Ec=mc^2 * (1+b^2/2+3b^4/8+...), obcinając do dwóch pierwszych członów Ec=mc^2*(1+v^2/2c^2)=mc^2+mv^2/2 czyli Ec=Es+mv^2/2, voila!

Czy znamy jeszcze jakieś inne efekty, gdzie bardzo ogromną wielkość możemy pomnożyć przez ten mały czynnik? Taką ogromną wielkością może być siła elektrostatyczna. Opisuje ją szkolny wzór na Prawo Coulboma: F=k*q1*q2/r^2. Na codzień nie zdajemy sobie sprawy jak wielka jest ta siła. No bo co tam można niby naelektryzować przez pocieranie balonik i będzie on przyciągany jakąś tam niewielką siłą. Nie zdajemy sobie jednak sprawy jak niewielką liczbę elektronów przenieśliśmy, aby uzyskać ten efekt. Materia jest w ogólności neutralna elektrycznie, a my przenosimy tylko bardzo małą liczbę elektronów, aby uzyskać te siły. Weźmy prosty kondensator - dwie okładki. Żeby wytworzyć na nich całkiem zabójcze napięcie kilkuset voltów musiny przenieść raptem ok 10^13 elektronów. Nie jest to wielka liczba zważywszy, że na centymetr sześcienny normalnego materiału przypada ok 10^23 atomów. Przenosimy więc jedną dziesiąciomiliardową dostępnych elektronów, a otrzymujemy już znaczącą siłę i energię (nie ręcze za te rachunki, zrobiłem w głowie proste oszacowania). W istocie gdybyśmy byli w stanie przenieść wszystkie elektrony z jednej okładki na drugą otrzymalibyśmy ogromną, wręcz niewyobrażalną energię elektryczną. Jeśli więc potrafimy gdzieś wpleść czynnik Lorentza w tak wielki potencjał energetyczny, powinniśmy zobaczyć efekt.

Wyobraźmy sobie teraz przewodnik, oraz pojedynczy ładunek próbny. Przewodnik zbudowany jest z sieci połączonych ze sobą protonów, oraz swobodnej chmury elektronów. Przewodnik jest elektrycznie obojętny nie oddziaływuje więc żadną siłą na ładunek próbny. Jeśli do przewodnika przyłożymy napięcie, popłynie w nim prąd, czyli chmura elektronów zacznie się powoli przesuwać. Nie są to wielkie prędkości (rzędu milimetrów na minutę). Zwiążmy nasz układ z ładunkiem próbnym. Na razie nic się nie dzieje, przewodnik nadal jest elektrycznie obojętny. Załóżmy teraz, że ładunek próbny porusza się powoli względem przewodnika (dla uproszczenia rozumowania może to być ruch w kierunku ruchu elektronów). Z doświadczenia wiemy, że na ładunek w ruchu będzie działała siła magnetyczna wytwarzana przez przewodnik pod pądem tj. siła Lorentza (tak tak, tego samego od transformacji Lorentza). Ale z punktu widzenia ładunku on spoczywa, a to przewodnik porusza się względem niego. Nie widać więc żadnej siły, która miałaby działać na ładunek. Sprzeczność? Zastanówmy się. Skoro przewodnik teraz się porusza, to skróci się relatywistycznie, jego nowa długość (zakładając, że jego długość w układzie spoczynkowym to l) wyniesie l*sqrt(1-v^2/c^2). Powstanie więc niewielka nadwyżka gęstości protonów, a więc przewodnik przestanie być elektrycznie obojętny. Pamiętamy, że przy niewielkich prędkościach skrócenie relatywistyczne jest znikome, a więc także ta nadwyżka gęstości protonów wydaje się znikoma. Siła elektryczna jest jednak tak ogromna, że nawet ta niewielka nadwyżka wpłynie na ładunek próbny i zacznie na niego oddziaływać. Konkretny rachunek znajdziemy tutaj, nie będę go powtarzał: http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_electromagnetism

Okazuje się, że siła spowodowana skróceniem przewodnika równa jest sile magnetycznej działającej na ładunek w ruchu czyli sile Lorentza. Może się to wydawać szokujące, ale to co w praktyce obserwujemy jako magnetyzm, czyli siła działająca na ładunki wyłącznie w ruchu, to czysto relatywistyczny efekt biorący się z relatywistycznego skrócenia przewodników.

Tak więc np. działanie silników elektrycznych opiera się na relatywistyce. Wszystkie one wykorzystują ruch jakiegoś elementu (zwojnicy), aby przez relatywistyczne skrócenie tego elementu wytworzyć nadwyżkę ładunków, a więc i siłę elektryczną. Można więc powiedzieć, że w istocie każdy pociąg elektryczny jest pociągiem relatywistycznym. Nie powinno to zresztą tak bardzo dziwić. Przecież transformacja Lorentza, a więc fundament STW powstała aby wyjaśnić prosty fakt, a mianowicie stwierdzenie, że empiryczne równania elektromagnetyzmu działają i to w róznych układach. Nie da się inaczej wyjaśnić siły Lorentza jeśli spróbujemy związać układ z naszym ładunkiem próbnym. A przecież także w tym układzie elektromagnetyzm musi działać.

Podsumowując. Wiele efektów z życia codziennego nie tylko da się wyjaśnić niewielkimi poprawkami relatywistycznymi, ale wręcz efekty te są niezbędne. Teoria względności znakomicie unifikuje i tłumaczy wiele niezależnie mierzonych zjawisk empirycznych, takich jak energia kinetyczna czy siły magnetyczne.