Fizyka działania akcelerometru cz. II

W pierwszej części trochę policzyliśmy zachowanie się ciężarka na sprężynie. W drugiej części porozmawiamy o sile bezwładności.

Przypomnę, że siłą sprawczą, która ciągnęła ciężarek i naprężała sprężynę była siła bezwładności F=ma. Czym jest siła bezwładności? To pozorna siła działająca w układach nieinercjalnych. Całą fizykę można by wyprowadzić nie używając w ogóle sił bezwładności, ale oczywiście byłoby trudniej. Spróbujmy więc tego trudniejszego warunku, gdzie wszystkie wielkości odniesiemy do inercjalnego układu odniesienia. Załóżmy więc, że mamy rakietę w stanie nieważkości i ustawiony w niej akcelerometr wzdłuż osi podłużnej. Uruchamiamy silnik, który pcha rakietę do góry (w kierunku dodatnim) z jakimś przyspieszeniem a. Na bazie tej teorii możemy napisać wzór na równowagę sił:

Po lewej stronie mamy znane nam już prawo Hook'a, a po prawej siłę bezwładności działającą na ciężarek. Znajdując x obliczymy wychylenie ciężarka, a znając a, odłożymy jego wartość na skali, przy czym wiemy, że ciężarek odchyli się w dół, a przyspieszenie jest dodatnie, więc dodatnie wartości musimy odkładać w dół skali, a ujemne do góry. Dlaczego tak się dzieje? Z tego prostego powodu, że siła bezwładności ma przeciwny zwrot do wektora przyspieszenia, a nas interesuje przyspieszenie, a nie wartość tej siły. W taki też sposób definiowane są przeciążenia, czyli swoisty efekt przyspieszeń. Te z góry do dołu nazywamy dodatnimi, a z dołu do góry, ujemnymi.

Spróbujmy teraz napisać równania z poprzedniej notki, ale bez siły bezwładności, obserwując rakietę z układu inercjalnego. W momencie uruchomienia silnika rusza on do góry z przyspieszeniem a, a wraz z nim rusza wszystko, co jest do niego sztywno przymocowane. Zakładając więc, że rakieta jest ciałem idealnie sztywnym, przyspieszenie to jest przenoszone przez kolejne atomy na całą rakietę. W rzeczywistości oczywiście rakieta nie jest sztywna i ulegnie ona pewnej kompresji, a przyspieszenie rozejdzie się z prędkością oddziaływań mechanicznych jej elementów, czyli na praktykę z prędkością dźwięku. Ale przyjmijmy, że rakieta jest sztywna. Wszystko więc rusza z tym przyspieszeniem z wyjątkiem ciężarka, który sztywno umocowany nie jest. Rakieta ucieka, a ciężarek pozostaje w miejscu. Powoli napręża się sprężyna i zaczyna też ciągnąć te ciężarek. Na ciężarek działa więc tylko jedna siła tj. siła sprężystości. F=-kx. Ale teraz x nie ma już prostej interpretacji tak jak poprzednio, gdyż przecież cały układ się przemieszcza. Rozpiszmy więc to przyjmując, że wszystko dzieje się w składowej zetowej. W chwili włączenia silników t=0, miejsce zaczepienia sprężyny w akcelerometrze będzie równe z=0. Napiszmy drugą zasadę dynamiki dla całej rakiety:

Położenie ciężarka zmienia się inaczej, gdyż działa na niego inna siła:

,

gdzie jak wiadomo różnica zetów będzie wpływać na siłę sprężystości. Odejmijmy od pierwszego równania drugie:

i zdefiniujmy:

otrzymując:

a po pomnożeniu przez m:

Pamiętacie państwo to równanie z poprzedniej notki? Tak - to to samo niejednorodne równanie oscylatora harmonicznego. Gdybyśmy w dowolnym momencie przyjęli F=a=0, dostaniemy równanie jednorodne tak jakby akcelerometr rzeczywiście spoczywał, bądź poruszał się ruchem jednostajnym.

Tutaj leży całe clou tej siły bezwładności. Jej tak naprawdę nie ma. Nie użyliśmy jej ani razu w tym rachunku, a otrzymaliśmy ten sam wynik. Ten człon bezwładnościowy niejako naturalnie pojawia się, gdy przechodzimy od bezwzględnych współrzędnych z, oznaczających położenie względem wyimaginowanego, inercjalnego układu odniesienia, do względnej zmiennej x, będącej różnicą tych wielkości, a więc wyznaczającej długość naciągnięcia sprężyny.

W trzeciej części dołożymy do problemu grawitację.