Witam. W poprzedniej notce rozważałem zachowanie się dźwięku w polu grawitacyjny. Temat nie jest zakończony, ale wrócę do niego w przyszłości. Na razie chce zbadać inne aspekty związane z tym tematem. Tym razem chodzi mi o oscylator harmoniczny. Ogólny przypadek przedstawia rysunek:
rys1
Mamy na nim centrum grawitacji o masie M, oraz wirujący odważnik na sztywnej nici o promieniu L, w odległości r od centrum masy M. Dla uproszczenia zakładam że długość L jest bardzo mała i poprzeczne skrócenie grawitacyjne niewiele wnosi do wyliczeń. Tak jest jeśli L jest małe w stosunku do r, a dokładnie jesli odważnik nie znajduje sie w pobliżu horyzontu zdarzeń masy M.
Jeśli nasz układ spełnia założenie że r zmierza do nieskończoności, to okres obrotu naszego odważnika dany jest wzorem:
wz1
Układ taki przypomina układ w nieważkości.
Ponownie zwracam uwagę że w dalszej części będę przyjmował że grawitacyjne skrócenie długości w 3 wymiarach jest jednakowe. To nie jest prawda, ale dla uproszczenia obliczeń stosuje to założenie.
Teraz zmieńmy nasze r z nieskończoności, do określonej wartości liczbowej. Okres obrotu T musi ulec dylatacji grawitacyjnej zgodnie z wzorem OTW:
wz2
t0 to nasz okres obrotu z poprzedniego przypadku. Podstawmy więc za t0 poprzedni wzór nr1.
wz3
Jednak żeby być bliżej prawdy musimy uwzględnić też grawitacyjne skrócenie długości. Dla tego musimy uwzględnić długość sztywnej nici na jakiej porusza się ciężarek wokół środka obrotu. Tak jak pisałem wcześniej uwzględniam dla prostoty tylko skrócenie wzdłuż linii środka obrotu i masy grawitacyjnej. Otrzymamy wzór taki:
wz4
Nasze L musi więc podlegać zmniejszeniu w polu grawitacyjnym co dane jest wzorem:
wz5
Wstawmy więc ten wz5 do naszego wzoru na T:
wz6
po uproszczeniu wychodzi całkiem przyjemny wzór:
wz7
gdzie:
T to okres obrotu,
L0 to długość nici mierzona w przestrzeni daleko od masywnego obiektu,
v to prędkość liniowa ciężarka,
G to stała grawitacyjna,
M to masa masywnego obiektu,
c to prędkość światła,
r to odległość od środka masywnego obiektu do punktu zawieszenia ciężarka.
Wyniki i Dyskusja
Z powyższych rozważań wynika, że okres obrotu ciężarka na nici sztywnej w pobliżu masywnego obiektu ulega podwójnemu wpływowi grawitacyjnemu: zarówno przez dylatację czasu, jak i przez skrócenie długości nici. Ostateczny wzór na okres obrotu uwzględniający oba te efekty to:
Ten wzór pokazuje, że okres obrotu ciężarka zmniejsza się w silniejszym polu grawitacyjnym, co jest zgodne z przewidywaniami ogólnej teorii względności. Warto zauważyć, że oba efekty - dylatacja czasu i skrócenie długości - prowadzą do zmniejszenia okresu obrotu, co może być istotne w precyzyjnych eksperymentach i aplikacjach, takich jak satelity na niskiej orbicie wokół Ziemi lub badania w pobliżu czarnych dziur.
Zastrzeżenie dotyczące poprzecznego skrócenia grawitacyjnego
Należy zaznaczyć, że w niniejszej analizie nie uwzględniono efektu poprzecznego skrócenia długości. Ogólna teoria względności przewiduje, że w silnym polu grawitacyjnym skróceniu mogą ulegać wszystkie wymiary obiektu, a nie tylko w kierunku radialnym. Pominięcie tego efektu może wpływać na dokładność wyników w ekstremalnych warunkach grawitacyjnych. Dalsze badania mogłyby uwzględnić ten efekt, aby uzyskać pełniejszy obraz wpływu grawitacji na ruch obiegowy ciężarka.
Wnioski
Analiza wpływu efektów grawitacyjnych na okres obrotu ciężarka na nici sztywnej pokazała, że zarówno dylatacja czasu, jak i skrócenie długości nici muszą być uwzględnione dla pełnego opisu ruchu w silnym polu grawitacyjnym podaje wzór nr7, zapewnia kompleksowe zrozumienie tego zjawiska i może być użyteczny w dalszych badaniach teoretycznych i praktycznych zastosowaniach w astrofizyce i inżynierii kosmicznej.
Obecnie nie będę pokazywał do czego to prowadzi, bo to zaledwie drugi krok. Ważne dla mnie jest to, że grawitacja wpływa na oscylacje. Samo to jak wpływa jest dość kontrowersyjne. Wielu ludzi szuka błędu w OTW, a sama OTW daje wiele przesłanek że jest sprzeczna w swoim obrębie. Dzieje się tak dla tego że prowadzi do wielkości nieskończenie wielkich, lub nieskończenie małych. To jest poważny mankament. Należy zastanowić się nad rozwiązaniem tego problemu. Na koniec pokaże wykres przy założeniu:
Wszystkie stałe fizyczne są równe 1, oraz masa M i długość L też była równa 1. Prędkość naszego odważnika nie możemy przyjąć za 1, gdyż była by to równoważne prędkości światła. Ustaliłem ją na 0,9
wyk1
Przy wartości r=2 okres obrotu T zmienia swoją wartość na ujemną. Sądzę że to efekt lustra...ale o tym innym razem.
Jeszcze ciekawa grafika z T(r,v):
wyk2
Tu kolejne zastrzeżenie, żeby mi ktoś nie zarzucił. Czas upadku dowolnego obiektu ( w tym oscylatora) na horyzont zdarzeń jest nieskończony...czyli nigdy nie zaobserwujemy takiego zdarzenia. Co prawda są na to kruczki "prawne", ale nie o nich chce pisać.
Tak na koniec nie chce by ktoś odniósł wrażenie że jestem jakimś przeciwnikiem lub obalaczem...choć często mnie korci. Wszystko co napisałem pochodzi z oficjalnych publikacji.
Literatura
Misner, C. W., Thorne, K. S., & Wheeler, J. A. (1973). Gravitation. W.H. Freeman and Company.
Hartle, J. B. (2003). Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Addison-Wesley.
Schutz, B. F. (2009). A First Course in General Relativity. Cambridge University Press.
Carroll, S. M. (2004). Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Addison-Wesley.
Zgadzam sie na kopiowanie i publikowanie tego tekstu pod warunkiem podania autora
Inne tematy w dziale Technologie
