Falowe podstawy materii - 2 - fale sferyczne

Wiele przesłanek wskazuje na to, że materia jest w istocie formą fali stojącej. W poprzedniej notce pokazaliśmy, że już fala płaska wykazuje pewne ciekawe właściwosci, będące analogią do właściwości materii. Co ciekawe, właściwosci te, wychodząc w sposób naturalny ze wspólnego zjawiska, dotyczyły dwóch zupełnie różnych w fizyce dziedzin - relatywistyki oraz mechaniki kwantowej. Już samo to powinno dać sporo do myślenia sceptykom.

Wszakże była to zaledwie demonstracja. Połęczenie między korpuskularną materią a falami musi uwzględniać fakt, iż materia w swoich najdrobniejszych elementach ma symetrię sferyczną. Jest to potwierdzone ekadami eksperymentów, z którymi trudno dyskutować. Jeżeli więc mamy materię opisać falami, muszą to być fale podlegające tej samej symetrii - fale sferyczne.

Co ciekawe, już w 1946 roku dwie tęgie głowy: Richard Feynman i John Wheeler, próbowały opisać jedną z czastek elementarnych, jaką jest elektron, jako kompozyt dośrodkowych i odśrodkowych fal sferycznych. Na nieszczęście założyli oni, że będą to fale elektromagnetyczne. Pomysł był ciekawy, ale nie wypalił. Jak zauważył Milo Wolff, równanie falowe nie ma sferycznych rozwiązań wektorowych. Tym niemniej jednak, Feynman i Wheeler wprowadzili pewne kluczowe idee, które świetnie sprawdziły się, gdy Milo Wolff, a potem Gabriel LaFreniere, stworzyli model elektronu (oraz wypływajacy z niego model wszelkich oddziaływań, od kwantowych począwszy, na grawitacji skończywszy) oparty o fale skalarne.

Obrazki, animacje

Milo Wolff oraz Gabriel LaFreniere, mimo pewnych różnic filozoficzno-poglądowych, stanowią świetnie uzupelniającą się parę. O ile Wolff wyprowadził swoje rewelacje bezpośrednio z równania falowego, o tyle LaFreniere postawił na animacje i symulacje komputerowe. W kwestiach, gdzie potrzebna była matematyka, posiłkował się pracami Yuri Ivanowa, które, choć nie zawierały pełnego rozwiazania problemu, stanowiły jednak do niego dobre wprowadzenie.

Zaczniemy od poglądowych animacji. Zarówno Wolff, jak i LaFreniere, używają podobych przedstawień elektronu w spoczynku. Stanowi on (a przynajmniej jego centralna część) kompozyt dwuch rodzajów fal sferycznych - dośrodkowych i odśrodkowych. Wynikiem jest sferyczna fala stojąca:

Już taki model pozwala (przy odrobinie matematycznych deliberacji) wyprowadzić jedną z fundamentalnych własciwosci materii - spin. Skupimy sie tu jednak na wątkach rozpoczętych w poprzedniej notce. Zobaczmy, co sie stanie, gdy zmusimy nasz układ fal do poruszania się:

Jak widać, powstaje bardzo ciekawa struktura. Już na oko wykazuje ona dwie cechy "żywej fali stojącej": porusza się (co jest dosyć oczywiste), oraz wykazuje płaską "falę fazy". Kolejna właściwość widoczna jest lepiej na kolejnej animacji:

Animacja pokazuje, że chociaż składowe pozostają widoczne, oraz mają ciągle kształt sferyczny, to właściwa fala "stojąca" (dokładniej - półstojąca) przyjmuje kształt eliptyczny. Jest to rozwinięcie skrócenia, które obserwowaliśmy w przypadku płaskiej "żyjącej fali stojącej".

Poniższa animacja pokakzuje bardzo wyraźnie, że nasz układ fal silnie się ścieśnia pod wpływem prędkości. Co ciekawe, owo ściskanie występuje tylko wzdłóż osi ruchu - dokładnie tak, jak to wynika z przekształceń Lorentza. Płaska fala fazy również ulega zagęszczeniu - dokładnie tak, jak należałoby tego oczekiwać po fali deBroglie'a:

Wzory

Obrazki obrazkami, ale bez matematyki nie byłoby fizyki. Czy zachodzące w układzie fal sferycznych zjawiska rzeczywiście pasują ścisłym opisem, a nie tylko pobieżnym podobieństwem, do zjawisk, jakie zna fizyka materii?

Na nieszczęscie, z matematyki jestem raczej cienki. Co gorsza, LaFreniere również, gdyż brak w jego pracach eleganckich wyprowadzeń (jest za to od groma symulacji i przykładów na konkretnych liczbach). Na szczęście, problemu z matematyką nie ma raczej Milo Wolff. On też, rozwiązując równanie falowe, pierwszy odkrył niezwykłą potęgę fal sferycznych.

Równanie falowe, które przypomnimy tu dla estetyki, można ze sporą dozą pewności nazwać "równaniem wszechświata":

$\frac{\partial ^2 \Psi }{\partial ^2 x} = \frac{1}{c}\frac{\partial ^2 \Psi}{\partial ^2 t}$ (1)

Milo Wolff wyprowadził z niego następujące rozwiązania sferyczne:

$\Psi _{IN} = \frac{\Psi _{MAX} e^{i(\omega t + kr)}}{r}$ (2)

$\Psi _{OUT} = \frac{\Psi _{MAX} e^{i(\omega t - kr)}}{r}$ (3)

co daje sie zapisać jako

$\Psi _{STANDING} = \frac{\Psi _{MAX} e^{i\omega t}\cdot sin(kr)}{r}$ (4)

Warto tutaj wspomnieć co nieco o użytych jednostkach. Do tej pory ograniczaliśmy się wyłącznie do abstrakcyjnego pojęcia ośrodka i fali, nie wnikając, jakiej częstotliwości oraz amplitudy są to fale. Wolff, w przeciwieństwie do LaFreniere, poświeca temu duża uwagę. Oto jego oznaczenia występujących w równaniach wielkości:

$\omega = 2\pi \frac{mc^2}{h}$
$k = \frac{2\pi}{\lambda}$

Pierwsza definicja może wzbudzić obiekcje. Skąd, u diabła, wzięla sie tam nagle masa i stała Plancka? Otóż z równania wiążącego energię ciała z częstotliwością, które Wolff utworzył łącząc wzory na energię Plancka oraz Einsteina:

$E = mc^2 = hf = k'\sum_{n=1}^{N} \frac{\Psi^2_n}{r^2_n}$ (5)

przy czym nas interesuje tutaj równanie $mc^2 = hf$ . Znajdującą się po prawej stronie sumą nie będziemy się w tej notce zajmować, gdyż zbytnio odbieglibyśmy od tematu. Dość będzie wspomnieć, że wskazuje ona na powiązanie pomiędzy masą i ładunkiem elektronu, a średnicą wszechświata i liczbą zawartych w nim elektronów. Interesujący nas fragment pozwala na podstawie częstotliwości oscylacji badanego przez nas układu fal obliczyć, ile będzie wynosiła zwiazana z nim wielkosc zwana masą. Będzie to istotne w zinterpretowaniu długości fali fazy.

Jak to poprzednio było, ciekawe rzeczy zaczynają się dziać dopiero, gdy wprowadzimy do układu ruch, a za nim - efekt Dopplera. Wolff rozważa dwa układy falowe, przemieszczajace się ze względną prędkością $\beta = \frac{v}{c}$ . Równanie fali przyjmie wówczas postać:

$SHIFTED(\Psi_{IN} + \Psi_{OUT}) = \frac{2\Psi_0 e^{ik\gamma (ct + \beta r)} \cdot sin(k\gamma(\beta ct + r)) }{r}$ (6)

Uff. Troche to skomplikowane, ale Wolff śpieszy z wyjaśnieniami. Przede wszystkim tłumaczy tajemniczy symbol gamma:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Widać już, że nam do układu wlazła relatywistyka. Najpierw wyjaśnia Wolff parametry członu wykładniczego:

Prędkosć fazowa: $V_{phase} = \frac{c}{\beta} = \frac{c^2}{v}$
Częstotliwość: $f = \frac{\gamma kc}{2\pi} = \frac{\gamma mc^2}{h}$ . Jak widać, równanie przewiduje relatywistyczny przyrost masy. Nic w tym z resztą niezwykłego - widzieliśmy przecież na animacjach, jak pod wpływem prędkości układ falowy się skraca, jednocześnie się zagęszczając. Jest oczywiste, że nieruchomy obserwator doświadczy zwiększenia częstotliwości fal, przez które przyjdzie mu się przedzierać. Na mocy zaś równania (5) częstotliwość (w tym wypadku względna) odpowiada masie.
Na koniec przyszła kolej na długość fali częsci wykładniczej. Oto ona: $\lambda = \frac{h}{\gamma mv} = \frac{h}{p}$ . Oto długość fali deBroglie'a. Nic dodać nic ująć.

I na tym można by prezentację zakończyć. Żeby jednak nie pozostawiać czytelnika z wątpliwościami (przedstawiliśmy bowiem dość nowe podejscie do tematu, plus calkiem nowy wzór, do którego nie wszyscy moga być przekonani), przytoczę jeszcze opis długości fali związanej z funkcją sinus:

$\lambda = \frac{h}{\gamma mc}$

Jest to tzw Comptonowska długość fali elektronu. Wielkość ta, w połączeniu z pozostałymi, uzasadnia, że wzór (5), który był już na salonie krytykowany, nie jest jakimś tam sztucznym wymysłem Milo Wolffa, lecz jego użycie ma swoje głębokie uzasadnienie. Połączenie tego wzoru, oraz sferycznych rozwiązań funkcji falowej, wraz z efektem Dopplera, pozwala odkryć wspólną, naturalną podstawę dla mechaniki kwantowej oraz relatywistyki.

Z uwagi na dużą ilosć materiału, pozwolę sobie w tym miejscu przerwać, pozostawiając kwestię skrócenia Lorentza-FitzGeralda, oraz dylatacji czasu, do omówienia w następnej, trzeciej już notce. Dla niecieprliwych dodam, że relatywistycznego skrócenia można sie już domyślić z dylatacji masy, oraz jej falowej interpretacji. Aby zaś dojść do dylatacji czasu, należy się przyjrzeć fali fazowej, gdyż to od częstości jej przechodzenia zależy "pulsowanie" elektronu.

Bibliografia

www.rhythmodynamics.com/Gabriel_LaFreniere/matter.htm - kopia strony Gabriela LaFreniere. To z niej pochodzi większość animacji.
www.quantummatter.com/space-resonance/ - strona Milo Wolffa. To z niej pochodzi większość wzorów.