Do moich uczniów z przyszłości - list 5

Tabela N² jest figurą geometryczną i ma tę piękną cechę, że każde pole tabeli (rekscel) posiada unikatową nazwę będącą pozycją wyrażaną za pomocą numeru wiersza w i numeru kolumny k. Numeracja wierszy i kolumn może być:

a) bezwzględna, gdy wiersze i kolumny numerowane są kolejnymi liczbami naturalnymi, rozpoczynając od JEDEN

b) względna całkowita, gdy wiersze i kolumny numerowane są liczbami całkowitymi o dowolnym porządku

c) względna niecałkowita, gdy wiersze i kolumny numerowane są liczbami innymi niż wyłącznie liczby całkowite

Gdy Tabela N² ma tyle wierszy i kolumn ile jest liczb naturalnych, to ma nazwę:

Tabela N² Kartezjusza, co zapisuje się także jako iloczyn N×N

Pojedynczy wiersz Tabeli N² znany jest pod nazwą: taśma Turinga, hotel Hilberta

i mniej znana nazwa: krzywa Hilberta (mniej znana bo jej długość jest większa od N).

Ja posłużyłem sięTabelą N² do badania trójkątów Pitagorasa tP stosując numerację względną całkowitą,

a) liczby całkowite nieujemne n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

b) liczby n parzysten_p = 0, 2, 4, 6, 8, ...

c) liczby n nieparzyste plus zero n_n = 0, 1, 3, 5, 7, ...

Tablica numeracji kolumn i wierszy w Tabeli N²
przy badaniu trójkątów pitagorejskich

	Legenda
				Liczba porządkowa
				Pary Pitagorasa a\|b
				Łańcuszki nieparzyste
				Łańcuszki parzyste

			n_p	0	2	4	6	8	10
			n_n	0	1	3	5	7	9
			n	0	1	2	3	4	5
n_n	n	n	lp	1	2	3	4	5	6
0	0	0	1						k
1	1	1	2						o
3	2	2	3						l
5	3	3	4						u
7	4	4	5						m
9	5	5	6						n
									a
<-------- wiersz w -------->									k

Para a|b w trójkątach Pitagorasa to długości przyprostokątnych a i b będących liczbami naturalnymi, spełniających równanie w taki sposób, by c było liczbą całkowitą

a² + b² = c²

Aby wypełnić Tabelę N² parami a|b zastosowałem formułę:

formuła 1

Jeżeli pierwiastek z w²+ k² jest liczbą całkowitą

to wpisz w|k

przy czym w = a natomiast k = b

Z uzyskanych danych wyselekcjonowałem zbiory par a|b i nazwałem je łańcuszki Ł

Łańcuszki dzielą się na nieparzyste i parzyste, a ich nazwą jest numer łańcuszka.

Do odtworzenia łańcuszków używam formuł:

formuła 2 Łańcuszki nieparzyste

a = 2(kw+w²) b =2(kw+k² /2)

formuła 3 Łańcuszki parzyste

a = kw+w² b = kw +k² /2

A teraz dygresja.

Na stronie którą podałem w pierwszym liście:

http://en.wikipedia.org/wiki/Formulas_for_generating_Pythagorean_triples#V.

Jest tekst, który zacytuję w wersji oryginalnej.

Given the integers u and v, (see: http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pythagoreantriples.html )

Example: For u = 3 and v = 5, a = 39, b = 80, c = 89. (This formula is actually the same as method I, substituting m and n with u+v and v.)

For the resulting triple to be primitive, u and v must be co-prime and u must be odd.

A particularly elegant version of this method is to calculate

Then

Pod podanym odnośnikiem do strony Uniwersytetu Rutgers State University of New Jersey nie znalazłem tego zapisu i nie ma go także na http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

- jednakże z uwagi na to, że jest identyczny z formułą na łańcuszki nieparzyste, to warto go zacytować (co niniejszym zrobiłem)