Wielkie twierdzenie Cantora

 Powiem krótko: 

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ur. 3 marca 1845, badając świat liczb - dokonał sensacyjnego odkrycia - odkrycia na miarę dziejową. Wypisywał kolejno liczby naturalne i przypisywał im liczby rzeczywiste z przedziału 0 do 1, a następnie wykazał, że nawet jeśliby dokonywało się tego przypisywania bez końca - to wśród powstałych liczb rzeczywistych nie będzie wszystkich liczb z tego przedziału. Z tego wyciągnął wniosek:

Liczb rzeczywistych w przedziale   0 do 1 jest więcej, niż wszystkich (sic!) liczb całkowitych dodatnich na osi liczbowej Kartezjusza zbudowanej na półprostej Euklidesa.

Metodę tę nazwano  metodą przekątniową  i została  ona uznana przez innych matematyków.

Opis tej metody można znaleźć w Intrernecie zarówno w formie oryginalnej jak i zbeletryzowanej np. w Wikipedii.   

Dla zainteresowanych, aby przybliżyć zrozumienie o co w tym wszystkim chodzi, wymyśliłem swój własny sposób metody przekątniowej prosty, jednoznaczny i przejrzysty:

w lewej kolumnie wpisujemy kolejne liczby naturalne, a w prawej tę samą liczbę powtarzamy dopisując na przedzie zero i przecinek: 

 Jak widać przy tej metodzie, aby uniknąć powtórzeń, zera (do pierwszej cyfry znaczącej) przepisuje się po przecinku. Dzięki temu żadna z liczb ułamkowych nie jest powtórzona.

Wydawać by się mogło, że przy zastosowaniu tej metody nie ma możliwości aby istniały liczby rzeczywiste w przedziale  0 do 1, które nie powstałyby właśnie w ten sposób, a to wskazywałoby, że te dwa zbiory są równoliczne, lecz problem stanowią te ułamki okresowe, które matematyka zna, ale nie zna liczb całkowitych z których te ułamki mogłyby powstać powyższą metodą. Jedną z takich liczb jest 0,9999... = 0,(9) 

Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9)

Jeszcze raz:

Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9) 

ale:

czy ta liczba jest naturalna? :-)

Jeśli Drogi czytelniku interesuje Cię odpowiedź na to pytanie - to zapytaj. Ja odpowiedź znam. :)