Powiem krótko:
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ur. 3 marca 1845, badając świat liczb - dokonał sensacyjnego odkrycia - odkrycia na miarę dziejową. Wypisywał kolejno liczby naturalne i przypisywał im liczby rzeczywiste z przedziału 0 do 1, a następnie wykazał, że nawet jeśliby dokonywało się tego przypisywania bez końca - to wśród powstałych liczb rzeczywistych nie będzie wszystkich liczb z tego przedziału. Z tego wyciągnął wniosek:
Liczb rzeczywistych w przedziale 0 do 1 jest więcej, niż wszystkich (sic!) liczb całkowitych dodatnich na osi liczbowej Kartezjusza zbudowanej na półprostej Euklidesa.
Metodę tę nazwano metodą przekątniową i została ona uznana przez innych matematyków.
Opis tej metody można znaleźć w Intrernecie zarówno w formie oryginalnej jak i zbeletryzowanej np. w Wikipedii.
Dla zainteresowanych, aby przybliżyć zrozumienie o co w tym wszystkim chodzi, wymyśliłem swój własny sposób metody przekątniowej prosty, jednoznaczny i przejrzysty:
w lewej kolumnie wpisujemy kolejne liczby naturalne, a w prawej tę samą liczbę powtarzamy dopisując na przedzie zero i przecinek:
1
|
|
0,1
|
|
2
|
|
0,2
|
|
3
|
|
0,3
|
|
4
|
|
0,4
|
|
5
|
|
0,5
|
|
6
|
|
0,6
|
|
7
|
|
0,7
|
|
8
|
|
0,8
|
|
9
|
|
0,9
|
|
10
|
|
|
0,01
|
11
|
|
0,11
|
|
12
|
|
0,12
|
|
13
|
|
0,13
|
|
14
|
|
0,14
|
|
15
|
|
0,15
|
|
|
|
|
|
100
|
|
|
0,001
|
Jak widać przy tej metodzie, aby uniknąć powtórzeń, zera (do pierwszej cyfry znaczącej) przepisuje się po przecinku. Dzięki temu żadna z liczb ułamkowych nie jest powtórzona.
Wydawać by się mogło, że przy zastosowaniu tej metody nie ma możliwości aby istniały liczby rzeczywiste w przedziale 0 do 1, które nie powstałyby właśnie w ten sposób, a to wskazywałoby, że te dwa zbiory są równoliczne, lecz problem stanowią te ułamki okresowe, które matematyka zna, ale nie zna liczb całkowitych z których te ułamki mogłyby powstać powyższą metodą. Jedną z takich liczb jest 0,9999... = 0,(9)
Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9)
Jeszcze raz:
Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9)
ale:
czy ta liczba jest naturalna? :-)
Jeśli Drogi czytelniku interesuje Cię odpowiedź na to pytanie - to zapytaj. Ja odpowiedź znam. :)
image do posta: 28.11.2011 12:56
Inne tematy w dziale Technologie