Robakks Robakks
1924
BLOG

Wielkie twierdzenie Cantora

Robakks Robakks Nauka Obserwuj temat Obserwuj notkę 27

 Powiem krótko: 

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ur. 3 marca 1845, badając świat liczb - dokonał sensacyjnego odkrycia - odkrycia na miarę dziejową. Wypisywał kolejno liczby naturalne i przypisywał im liczby rzeczywiste z przedziału 0 do 1, a następnie wykazał, że nawet jeśliby dokonywało się tego przypisywania bez końca - to wśród powstałych liczb rzeczywistych nie będzie wszystkich liczb z tego przedziału. Z tego wyciągnął wniosek:

Liczb rzeczywistych w przedziale   0 do 1 jest więcej, niż wszystkich (sic!) liczb całkowitych dodatnich na osi liczbowej Kartezjusza zbudowanej na półprostej Euklidesa.

Metodę tę nazwano  metodą przekątniową  i została  ona uznana przez innych matematyków.

Opis tej metody można znaleźć w Intrernecie zarówno w formie oryginalnej jak i zbeletryzowanej np. w Wikipedii.   

Dla zainteresowanych, aby przybliżyć zrozumienie o co w tym wszystkim chodzi, wymyśliłem swój własny sposób metody przekątniowej prosty, jednoznaczny i przejrzysty:

w lewej kolumnie wpisujemy kolejne liczby naturalne, a w prawej tę samą liczbę powtarzamy dopisując na przedzie zero i przecinek: 

1
 
0,1
 
2
 
0,2
 
3
 
0,3
 
4
 
0,4
 
5
 
0,5
 
6
 
0,6
 
7
 
0,7
 
8
 
0,8
 
9
 
0,9
 
10
 
 
0,01
11
 
0,11
 
12
 
0,12
 
13
 
0,13
 
14
 
0,14
 
15
 
0,15
 
 
 
 
 
100
 
 
0,001

 Jak widać przy tej metodzie, aby uniknąć powtórzeń, zera (do pierwszej cyfry znaczącej) przepisuje się po przecinku. Dzięki temu żadna z liczb ułamkowych nie jest powtórzona.

Wydawać by się mogło, że przy zastosowaniu tej metody nie ma możliwości aby istniały liczby rzeczywiste w przedziale  0 do 1, które nie powstałyby właśnie w ten sposób, a to wskazywałoby, że te dwa zbiory są równoliczne, lecz problem stanowią te ułamki okresowe, które matematyka zna, ale nie zna liczb całkowitych z których te ułamki mogłyby powstać powyższą metodą. Jedną z takich liczb jest 0,9999... = 0,(9) 

Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9)

Jeszcze raz:

Ten ułamek dziesiętny 0,(9) ma w liczniku liczbę (9) 

ale:

czy ta liczba jest naturalna? :-)

 

Jeśli Drogi czytelniku interesuje Cię odpowiedź na to pytanie - to zapytaj. Ja odpowiedź znam. :)

 
 

  
image do posta: 28.11.2011 12:56
 
 
  
Robakks
O mnie Robakks

konsekwentny

Nowości od blogera

Komentarze

Pokaż komentarze (27)

Inne tematy w dziale Technologie