38 obserwujących
234 notki
208k odsłon
315 odsłon

Ciekawa przestrzeń „trójmianowa”

Wykop Skomentuj5

(O welocetyzerze, który nie jest zabawką)
Nie jest? To dlaczego sprawia tyle radości?
„Księga mądrości króla Juliana”

Niniejsza notka jest nieprzyzwoicie długa i operuje niezwykle poważnymi pojęciami. Nie chciałbym jednak, żeby była odbierana zbyt poważnie. W końcu to żart, mający „przetestować” elementy znane z uczonych tomiszczy, opisujących fizykę teoretyczną. A ponieważ każdy lubi żarty, zapraszam do lektury.

Budujemy zbiór „trójmianowy”

Na początek zastanówmy się, jak opisać wszystkie wielomiany stopnia drugiego. Te, które tworzą najznańsze równania kwadratowe, co przy ich rozwiązywaniu zerowych liczy się deltę. Są to funkcje postaci:

fabc(x) = ax2 + bx + c

Każdy trójmian określony jest przez trzy liczby: a, b, c. A to przecież punkt z R3. Czyli przestrzeń trójmianów, której można sobie nie wyobrażać (czy ktoś może sobie wyobrazić zbiór funkcji?), jest opisywana przez prawie zwyczajną przestrzeń trójwymiarową.

Napisałem „prawie”, bo musimy zastanowić się nad punktami dla których a=0. No bo jeśli a=0, to nasze równanie nie jest równaniem kwadratowym. Na pierwszy rzut oka nie wydaje się to jakoś strasznie istotne, ale jak przypomnimy sobie  przepis na wyliczanie pierwiastków, to okaże się, że wymaga on dzielenia przez a. A mając w pamięci prastarą prawdę, zapisaną w wielkiej księdze matematyki: „nie dziel cholero przez zero”, uznajmy, że punkty postaci (0, b, c) nie będą należały do naszego zbioru.

W sumie to kwestia wyboru, jakie zagadnienia związane z funkcjami kwadratowymi będziemy chcieli badać. Jeśli interesują nas własności liniowe (dodawanie funkcji i mnożenie je przez liczby), wtedy dopuszczamy do zbioru trójmianów funkcje liniowe, jako szczególne przypadki funkcji kwadratowych w których a=0. Przy takim wyborze badany zbiór jest zwykłą przestrzenią wektorową i nie  usuwamy z niej płaszczyzny a=0. Gdy jednak zajmujemy się procedurą znajdowania pierwiastków i pokrewnymi jej problemami, trzeba będzie wprowadzić ograniczenie na nasz zbiór: a≠0.

Tak więc nasz zbiór będzie trójwymiarową przestrzenią z usuniętą płaszczyzną. Oznaczę sobie ją symbolem V i z braku lepszej nazwy nazwę przestrzenią trójmianową.

V = R3\R2

W poprzednim odcinku podałem przykład, w którym przyrodzone bogactwo Rn zostało ograniczone do możliwości odczytywania współrzędnych. Pora więc przedyskutować, jakie typowe cechy R3 warto będzie zostawić przy pracy nad V.

  • Dodawanie trójmianów jest równoważne dodawaniu punktów R3⊃V. Można więc pomyśleć, że traktowanie punktów V jak wektorów, ma uzasadnienie. Tyle, że dodawanie nie jest określone w całej przestrzeni, bo „nie da się” dodać punktów (a, … ) i (-a, … ). Czyli jednak w V nie mamy dodawania. Może to wyglądać na mały kłopot, ale w dalszej części tekstu nie będę dodawał czy odejmował od siebie trójmianów, więc mi to nie przeszkadza.
  • „Długość” wielomianu – pierwiastek z a2+b2+c2 – nie ma sensu, za to w R3 jest kanoniczna. Dodawanie kwadratów a, b i c jest szczególnie rażące dla jakichkolwiek praktycznych zastosowań równań kwadratowych, bo liczby te mają inne jednostki. Chyba natknęliśmy się na przypadek, gdzie twierdzenie Pitagorasa „nie obowiązuje”.
  • Skoro tak, to nie obliczymy  „odległości” między punktami V. Tym bardziej, że i tak  ma się ona  nijak do tego, jak można liczyć odległości między funkcjami. Sensownej odległości nie ma, ale topologia/ciągłość narzucona przez √(a2+b2+c2) wydaje się być jak najbardziej OK. Przy czym nie oznacza to bynajmniej, że powyższy pierwiastek jest jakoś wyróżniony – równoważną  ciągłość w V dostaniemy na wiele, zupełnie innych sposobów.
  • Zbiór R3 daje nam kanoniczną definicję iloczynu skalarnego, a co za tym idzie pojęcie prostopadłości. Tutaj jest ona na nic, bo punkty to nie wektory. Zresztą można by się zastanawiać, czy w ogóle można rozsądnie zdefiniować w tej przestrzeni ortogonalność. Nie wiem, ale w trakcie prowadzonych (powierzchownych) badań nie znalazłem przesłanki mogącej sugerować pozytywną odpowiedź.

Jak widać mało jest rzeczy, które na dzień dobry przenoszą się z typowej Rn na nasz przypadek trójmianowej przestrzeni V.

Powstaje jednak pytanie, w co wyposażyć naszą V, żeby można się nią z pożytkiem pobawić? To, co najciekawsze , to wszelkie zagadnienia związane z wyliczaniem pierwiastków. Bo  pamiętamy z lekcji matematyki w szkole średniej: na podstawie  a, b, c znajdujemy deltę i dwa pierwiastki (w ogólności zespolone). Te i pokrewne tematy będą nam wskazywać drogę dla dalszych prac nad V.

Zanim przystąpimy do  roztrząsania obiecanych bardzo poważnych zagadnień,  małe podsumowanie czym dysponujemy. Mamy mianowicie:

  • funkcje kwadratowe, których dziedziną jest prosta R. Nazwę sobie tę dziedzinę M, wtedy każdy trójmian wygląda następująco:
                                 fabc: M ∋ x ↦ ax2 + bx + c ∈ R

  • przestrzeń trójmianową V, której każdy punkt odpowiada jakiejś funkcji kwadratowej. Ponieważ zażądałem by pierwsza współrzędna a≠0, V będzie R3\R2 czyli innymi słowy będzie się składać z dwóch osobnych półprzestrzeni.

Celem niniejszej żartobliwej rozprawy, będzie przetestowanie kilku pojęć, używanych zwykle w fizyce matematycznej, na podstawie  związków między zbiorami M i V.

Wykop Skomentuj5
Ciekawi nas Twoje zdanie! Napisz notkę Zgłoś nadużycie

Więcej na ten temat

Salon24 news

Co o tym sądzisz?

Inne tematy w dziale Technologie