Zasługi Plancka dla STW

Już raz zdarzyło mi się parafrazować słowa H. Steinhausa, że jego największym odkryciem naukowym był S. Banach. Użyłem je mianowicie w stosunku do Halleya, który odkrył Newtona. Dziś będę miał okazję, żeby zastanowić się, czy nie wypada sformułować podobnej myśli wobec najsławniejszego fizyka pierwszej połowy XX wieku.

* * *

Gdy pisałem notkę „Od Newtona do STW” użyłem sformułowania: „W 1905 roku Einstein przepisuje uzyskane wtedy wzory, dodając jednak coś od siebie”. Miałem na myśli, że wzory transformacyjne znane były przed 1905 rokiem, ale pomysł na dynamikę stanowił nowość. Wydaje mi się, że warto choćby dla samej ciekawości przyjrzeć się, jak wygląda owo „coś od siebie”.

Przypominam, że w STW, jeśli nie zamierzamy korzystać ze zmiany układów współrzędnych, to do znalezienia trajektorii punktu materialnego przy zadanych siłach „wystarczy” poprawiona formuła drugiej zasady dynamiki:

Sens fizyczny wypisanego powyżej wzoru jest jasny: Im większa prędkość, tym pęd (ilość ruchu) jest większy, tyle tylko, że obie wielkości nie zależą od siebie liniowo. Wielkość pędu może być dowolnie duża, natomiast prędkość – co można policzyć – będzie zawsze mniejsza od c. Tak, jak gdyby bezwładność ciała rosła wraz z prędkością.

W odróżnieniu od wspomnianej notki, m będzie dziś oznaczać masę spoczynkową (czyli coś, co oznaczałem wtedy jako m₀). Robię to, dla zachowania zgodności z publikacją Einsteina „O elektrodynamice ciał w ruchu”, gdzie ten wzór pojawia się po raz pierwszy. No właśnie, czy on tak naprawdę się tam pojawia?

Zamiast wierzyć na słowo, zajrzyjmy na http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/www/ gdzie mieści się angielskie tłumaczenie sławnej pracy. Znajdziemy tam zupełnie coś innego:

A więc może Einstein nie wymyślił nowej, relatywistycznej dynamiki, tylko coś poknocił? Najpierw jednak zobaczmy, co on tam w ogóle policzył. W pracy opisał kinematykę (w tym najbardziej „medialne” efekty – skrócenie długości, paradoks bliźniaków itp.), analizował zmianę opisu pola e-m przy zmianie układu współrzędnych – policzył na przykład relatywistyczny efekt Dopplera oraz formułę na energię pola. Na koniec zabrał się za drugą zasadę dynamiki. Próbował znaleźć takie równania, żeby – podobnie jak równania Maxwella – zachowywały swą postać przy zastosowaniu transformacji przy przejściu z układu do układu. Brał pod uwagę siłę Lorentza F=e(E+v×B), choć nie użył jawnie tej nazwy. Wiedział, jak transformuje się pole e-m – czyli wektory E i B – chodziło więc o to, żeby podobnie „urelatywistycznić” wzór F=ma z użyciem tych pól. Wyszło co wyszło.

Zanim okaże się, czy einsteinowski wynik ma sens, opiszę co działo się po wydaniu jego pracy w 1905 r. No więc… na początku nic się za bardzo nie działo. Tu i ówdzie omówiono ją, ale Einstein był przecież pracownikiem urzędu patentowego, więc czego się tu spodziewać. Szczęśliwie pracę przeczytał znany nam skądinąd Max Planck i się zainteresował. Napisał list do autora dopytując się o szczegóły. Pytał między innymi o to, co autor miał na myśli, pisząc dziwaczną postać poprawionej drugiej zasady dynamiki. Tych listów było zresztą więcej.

W 1906 roku Planck przedstawił wyniki osiągnięte przez Einsteina na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego. To wtedy formuła F=d(γmv)/dt pojawia się po raz pierwszy. Ponieważ jest ona wynikiem wspólnej, epistolograficznej dyskusji, może wypada mówić o formule Plancka-Einsteina? Pewnie to by była przesada, ale to Planckowi mistrz Albert zawdzięcza najwięcej na początkowym etapie kariery. Wracając do parafrazy słów Steinhausa: W tym czasie Einstein był odkryciem Plancka.

Pozostaje pytanie: co wiąże oba wzory? Odtworzenie pracy, jaką wykonał Einstein (być może częściowo z Planckiem), by dojść do F=d(γmv)/dt, na pewno nie jest proste. Ale łatwo przejść w drugą stronę. Jeśli potrafimy różniczkować, to wzór

e( E + v×B ) = d( γmv )/dt

łatwo przekształcimy do formy podanej przez Einsteina. Bo to co napisał, to uogólniona druga zasada zapisana w układzie współrzędnych, w którym kierunek x-owy jest równoległy do prędkości opisywanego ciała. Wtedy v we wzorze einsteinowskim oznacza właśnie tę składową. Oczywiście chwilę później prędkość może mieć już składowe w kierunku y-kowym czy z-towym, więc użyteczność oryginalnej formuły nie jest za wielka.

Dla ciekawskich zacytuję obrazkowo – bo samemu nie chciało mi się pisać – popularną swego czasu książkę J. Szczeniowskiego „Fizyka doświadczalna”, gdzie to wyprowadzenie jest zrobione. Uwaga! U Szczeniowskiego m=γm₀. Celowo wziąłem dość stary podręcznik, bo współcześnie raczej korzysta się z „planckowskiej” postaci zasady. Odczytanie co oznaczają użyte w oryginale X, Y, Z, M i N pozostawiam jako zadanie ZTS. Trzeba też uwzględnić, że Einstein użył symbolu β, tam gdzie dziś używa się γ, tak jak w reszcie niniejszej notki.

Uwagi końcowe

Opisane powyżej ciekawostki zaczerpnąłem ze strony Postępów Fizyki. Znalazłem tam artykuł prof. S. Bażańskiego, który wykonał kawał rzetelnej roboty, dokumentującej losy jednej z najsławniejszych publikacji w historii fizyki.
Plank oprócz zreferowania wyników młodszego kolegi, wyprowadza swoją postać wzoru w formalizmie hamiltonowskim. Oznacza to, że on jako pierwszy zapisał dynamikę STW jako równania Hamiltona.
Wyszło na to, że wbrew zaleceniom SNAFU, jestem jednym z tych, co to „przytaczają okropne starocie”. Ale taka ci to tradycja w Salonie24. A tradycja zobowiązuje :) Obiecany cieplik – jeszcze większa staroć – poczeka do następnego razu.
Przyznaję, że opowiedziana historia, to pozornie młyn na wodę obalaczy: Policzył sobie jeden (być może nawet z drugim) jakieś równania, żeby wzory się zgadzały. Taka zabawa matematyczna. A gdzie rzeczywistość, pomiary, świat i Prawdziwa Natura? Gdyby tak właśnie było, nie warto byłoby marnować czasu na napisanie notki. Wymienię trzy bezpośrednie zastosowania poprawionej drugiej zasady dynamiki: akceleratory (kiedyś sam pisałem na ten temat), obserwacje ruchu cząstek elementarnych w stałym polu magnetycznym i precesja orbity Merkurego. I żeby nie było zbyt archaicznie, dołożę jeszcze badania ruchu cząstek naładowanych będących pod wpływem silnych impulsów świetlnych (lasera).