Do pokaźnej listy oszukanych dowodów matematycznych dokładam osobisty, skromny wkład. Tym razem w dziedzinie geometrii różniczkowej. Mam nadzieję, że dowcip się udał.
Po długiej przerwie przypominam o swoim istnieniu. Na początek, w ramach zaległego prima aprilis, pokażę, że pewien wzór, znany z kursu analizy matematycznej, jest sprzeczny sam ze sobą. Jak zawsze w matematyce, wszelkiego rodzaju sprzeczności, czy dowody, że 1=0, są wynikiem jakiegoś ukrytego oszustwa. Tak będzie i tym razem. Ciekawe, czy domyślisz się, gdzie owo oszustwo jest. Oczywiście na koniec notki wyjaśnię, jak oszukiwałem.
Skupię się na znanym wzorze, służącym do wyliczania różniczki zupełnej funkcji:
i robiąc małe oszukaństwo, pokażę, że ten wzór jest fałszywy.
Sumowanie w powyższej formule odpowiada liczbie współrzędnych. Jeśli dziedzina funkcji f jest dwuwymiarowa, potrzeba nam dwóch niezależnych współrzędnych. A współrzędna to inaczej funkcja, która danemu punktowi przyporządkowuje wartość współrzędnej w tym punkcie. Wyszło masło maślane. Ale chyba nie da się mądrzej tego napisać. No bo jak opiszemy funkcję namalowaną na poniższym obrazku?
Chyba tak: Poziomice funkcji pokazują wysokość danego punktu nad poziomem morza. A jak nazwiemy tę funkcję? Wysokością nad poziomem morza.
Mniejsza o te nazewnicze żarciki. Jak napisałem, na dwuwymiarowym zbiorze potrzebujemy dwóch funkcji – muszą być dostatecznie ładne, no i muszą rozróżniać punkty. Chodzi o to, żeby nie było dwóch różnych punktów, mających jednakowe obie współrzędne. Przy czym funkcje te nie muszą tworzyć wcale układu kartezjańskiego. Zresztą istnieją zbiory, że takowego nie da się utworzyć – na przykład na globusie używa się zwykle funkcji: długość i szerokość geograficzna.
Weźmy jakiś zbiór dwuwymiarowy. Wybierzmy trzy funkcje, które parami tworzą dobre układy współrzędnych. Matematycy na takie wynalazki mówią mapy, ale jako fizyk zostanę przy określeniu układ współrzędnych. Żeby nie sugerować się układem kartezjańskim, gdzie przyzwyczailiśmy się do x, y, nasze funkcje nazwę sobie p, r, s. Z tych trzech funkcji możemy utworzyć trzy układy współrzędnych: {p, r}, {r, s}, {s, p}. W takim razie różniczkę zupełną funkcji f, możemy obliczyć na trzy sposoby:
W rozważaniach możemy wziąć dowolną funkcję f byleby była różniczkowalna.
Powyżej wyliczyłem różniczkę funkcji. Wzory co prawda różne, ale pokazują tę samą różniczkę df. W kolejnym kroku odejmijmy stronami wyrażenia (1) i (2):
Po odjęciu jednakowych członów dostaniemy, że dla dowolnej różniczkowalnej funkcji f i dowolnych zmiennych p i s tworzących układ współrzędnych:
W zasadzie powinno być już widać, że to nieprawda, bo p i s to niezależne od siebie funkcje. Muszą takie być, by móc różnicować dziedzinę funkcji f. A jak nie widać, to trzeba podstawić nasz wynik do (3) i wtedy okaże się, że wzór na różniczkę zupełną, w ogóle się nie stosuje:
Możesz sam spróbować zgadnąć, gdzie znajduje się błąd, a jak ci się nie chce, czytaj dalej…
* * *
Co więc jest niedobrze? Żeby odpowiedzieć na to pytanie można zajrzeć do innej mojej notki, w której pisałem, że pochodna cząstkowa:
w zasadzie nie zależy od funkcji x, tylko od wszystkich innych funkcji występujących w wybranym układzie współrzędnym. Dlatego wzór (1) powinien być napisany:
Pojawiły się dodatkowe indeksy, które precyzują o jaką pochodną cząstkową chodzi.
Żeby nie pozostawiać czytelnika w złudnym poczuciu „to jakieś głupoty”, przetestuję wzory na różniczkę zupełną w konkretnym modelu, który każdy inżynier z kursem fizyki powinien znać. Tym przykładem będzie model gazu doskonałego. Nasza przestrzeń jest dwuwymiarowa i obejmuje ćwierć-płaszczyznę:
Namalowałem poziomice trzech funkcji p, V i T. Pomimo, że używamy tych trzech zmiennych, to przestrzeń możliwych stanów naszego gazu jest dwuwymiarowa, bo owe współrzędne nie są niezależne. Łączy je równanie Clapeyrona:
pV/T = nR
Stałe n i R oznaczają liczbę moli gazu i tzw. stałą gazową. Dla nas istotne jest to, że to stałe (liczby).
Policzę sobie różniczkę zupełną funkcji U zwanej energią wewnętrzną. Dla jednoatomowego gazu energia ta jest równa U=(3/2)nRT. Najpierw zróżniczkuję U w układzie współrzędnych {temperatura, ciśnienie}:
Wpisałem 0, bo w tym układzie U od p nie zależy. Inaczej jednak będzie w układzie {ciśnienie, objętość}, bo:
U=(3/2)nRT = (3/2)pV
i teraz ta sama różniczka dU wygląda inaczej:
Czy już widać, że dwie pochodne cząstkowe 
w powyższych wzorach, to dwie różne pochodne i nie można ich odejmować?
Pozostaje więc pytanie, dlaczego o tym niebezpieczeństwie nie mówi się w podręcznikach? No bo w praktyce ustala się jeden układ współrzędnych i to taki, który nie budzi podejrzeń. Często jest to układ kartezjański. No a jak jest tylko jeden, no to mamy jednoznaczność.
* * *
Mam nadzieję, że niniejszy żarcik nie będzie tylko jednorazowym wybrykiem na blogu Zajtenberga.
Inne tematy w dziale Rozmaitości
